CĐ: Chứng minh BĐT ôn thi vào lớp 10 (rất hay)

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Giải:
Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ:

Ta có
;
;









(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2:
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
(403-1001)
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z

3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR:

4) Cho x
,y
thỏa mãn
;CMR: x+y

Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và

Chứng minh rằng


Giải:
Do a, b, c đối xứng,giả sử a
b
c


Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

=
=

Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :


Giải:
Ta có



Do abcd =1 nên cd =
(dùng
)

Ta có
(1)
Mặt khác:

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=

Vậy

Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:


Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd


mà






II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
+
+



Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có:
+

a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có:
+

b; và
+

c
(
+
+
+

a + b + c
(
+
+


(đpcm)
Vậy
+
+



Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A =
+
.Bài giải:
Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2
4ab =>






(a, b > 0)
Mặt khác: x + y

=> xy

=
(áp dụng bất đẳng thức Cô si)
A =
+
+


+
=
+

4 +
= 4 + 2 = 6
Vậy MinA = 6 khi x = y =

Bài 3.


Hướng dẫn

Ta có:



Tương tự =>

Mặt khác:


=>


Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
CMR :

Bài giải
Ta có





Nên vế trái =

Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:


Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:




Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:


Vậy:

Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng:

HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z ( 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.
Hướng dẫn
Với
ta có:




Tương tự có
. Từ (1) và (2)


Vì
mà

.

Khi a = b = 1 thì
. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là


Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn
Ta có M =

Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương
ta có
,
dấu “=” xảy ra ( x = 2y