CĐ: CÁC BÀI TOÁN VỀ PT BẬC HAI & HỆ THỨC VIÉT

A.C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i
D¹ng 1: §iÒu kiÖn PHB2 cã nghiÖm ,v« nghiÖm
Cã thÓ x¶y ra 6 tr­êng hîp
-Muèn chøng minh PTB2 lu«n cã nghiÖm , cã 2 nghiÖm pb , v« nghiÖm ta chøng minh
Lu«n kh«ng ©m ,lu«n d­¬ng , lu«n ©m.
-Muèn t×m ®iÒu kiÖn ®Ó PTB2 cã nghiÖm ,v« nghiÖm ta gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh …
D¹ng 2 ; TÝnh gi¸ trÞ 1 biÓu thøc cña 2 nghiÖm
Ph­¬ng ph¸p gi¶i : - KiÓm tra ®iÒu kiÖn cã nghiÖm .TÝnh tæng ,tÝch 2 nghiÖm theo Viet
-BiÕn ®æi biÓu thøc vÒ d¹ng toµn Tæng ,TÝch 2 nghiÖm
Chó ý –NÕu gÆp HiÖu ,C¨n th× tÝnh b×nh ph­¬ng råi suy ra
-NÕu biÓu thøc kh«ng ®èi xøng th× cã thÓ dïng
 ;

-NÕu mò qu¸ lín th× cã thÓ nhÈm nghiÖm
Ngoµi ra ë nh÷ng bµi khã cÇn khÐo lÐo vËn dông linh ho¹t
D¹ng 3 : ViÕt 1 hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm ®éc lËp víi tham sè
B­íc 1 : TÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm theo ViÐt
B­íc 2 : Rót tham sè tõ tæng thay vµo tÝch hoÆc ng­îc l¹i
Chó ý : NÕu bËc cña tham sè ë tæng vµ tÝch ®Òu lµ 2 trë lªn ta ph¶i khö bËc cao tr­íc b¼ng c¸ch nh­ ph­¬ng ph¸p céng trong gi¶i HPT
D¹ng 4 ; T×m tham sè biÕt 1 hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm
B­íc1 : T×m §K cã nghiÖm . TÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm theo ViÐt
B­íc 2 : BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng hÖ thøc vÒ d¹ng toµn Tæng ,TÝch 2 nghiÖm .NÕu kh«ng ®­îc th× gi¶i hÖ... ( HÖ thøc cã bËc 1 )
Chó ý : -Ph¶i ®èi chiÕu víi §K cã nghiÖm .- NÕu hÖ thøc chøa HiÖu ,c¨n th× cã thÓ b×nh ph­¬ng ,chøa dÊu gi¶ trÞ tuyÖt ®èi th× cã thÓ thµnh 2 phÇn
D¹ng 5 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc 2 biÕt 2 nghiÖm
Khi lËp PT B2 cÇn biÕt 2 nghiÖm vµ Èn
- Muèn lËp PTB2 cã 2 nghiÖm
ta lµm nh­ sau :
TÝnh
VËy PTB2 cÇn lËp lµ : x2- Sx+ P =0
D¹ng6 :T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch :Dñng ph­¬ng ph¸p thÕ ®­a vÒ PTB2
D¹ng7 :XÐt dÊu c¸c nghiÖm cña PT
XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai:
(a

Cã

P =

S =

Trong nhiÒu tr­êng hîp ta cÇn so s¸nh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè cho tr­íc hoÆc xÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai mµ kh«ng cÇn gi¶i ph­¬ng tr×nh ®ã, ta cã thÓ øng dông ®Þnh lÝ ViÐt .
1. Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d­¬ng


2. Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ©m


3. Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu: P

NhiÒu bµi to¸n ®ßi hái t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm kh«ng ©m. Th­êng cã 2 c¸ch gi¶i:
C¸ch 1: Cã P
0 ( Tr­êng hîp nµy cã 1 nghiÖm d­¬ng 1 nghiÖm kh«ng ©m)
HoÆc P = 0 Tr­êng hîp nµy tån t¹i 1 nghiÖm b»ng 0
HoÆc:
Th× hai nghiÖm ®Òu d­¬ng.
C¸ch 2:
Tr­íc hÕt ph¶i cã
khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm kh«ng ©m nÕu :

( Tr­êng hîp nµy tån t¹i nghiÖm d­¬ng)
HoÆc S = 0 ( Tr­êng hîp nµy tån t¹i nghiÖm kh«ng ©m)
HoÆc
( Tr­êng hîp nµy cã 1 nghiÖm kh«ng ©m 1 nghiÖm ©m)
Tuú theo ®Çu bµi mµ chän c¸ch xÐt biÓu thøc P hay S.
D¹ng 8: NghiÖm chung cña 2 ph­¬ng tr×nh
D¹ng 9:Hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng
Häc sinh hay nhÇm lÉn vÊn ®Ò sau: Khi t×m ra hai ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm th­êng véi kÕt luËn ngay lµ hai ph­¬ng tr×nh ®ã kh«ng t­¬ng ®­¬ng víi nhau:

VD3: T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh x2 – mx + 2m -3 = 0 (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1= 0 (2) t­¬ng ®­¬ng.

H­íng dÉn: Hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng trong hai tr­êng hîp
* Tr­êng hîp 1: PT(1) vµ PT(2) v« nghiÖm


(kh«ng x¶y ra)
* Tr­êng hîp 2: PT(1) vµ PT(2) cïng cã nghiÖm x1; x2 th× theo ®Þnh lý Vi-Ðt ta cã:

.
Thö l¹i víi m = 2 th× hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng v× chØ cã mét nghiÖm x = 1. VËy m = 2
(Víi lo¹i to¸n nµy ta cÇn l­u ý häc sinh: Khi c¶ hai ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm th× hai ph­¬ng tr×nh ®ã còng lµ hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng. Cho nªn víi mét sè bµi to¸n ta ph¶i xÐt hai tr­êng hîp, tr­êng hîp c¶ hai ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm vµ tr­êng hîp c¶ hai ph­¬ng tr×nh cã cïng mét tËp hîp nghiÖm.
VD4: T×m m, n ®Ó ph­¬ng tr×nh x2 – (m + n)x -3 = 0 (1)
vµ ph­¬ng tr×nh x2 – 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) t­¬ng ®­¬ng.

H­íng dÉn:
PT(1) cã
nªn PT(1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2
Do ®ã PT(1) vµ PT(2) t­¬ng ®­¬ng khi hai ph­¬ng tr×nh nµy cã cïng tËp hîp nghiÖm nghÜa lµ:

. VËy m =1 vµ n =1 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m
(Víi bµi to¸n nµy ta ®· chØ ra ®­îc mét ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt, nªn ®Ó cho hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng th× ph­¬ng tr×nh cßn l¹i còng ph¶i cã hai nghiÖm gièng hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trªn. ¸p dông ®Þnh lý Vi-Ðt vÒ tæng tÝch hai nghiÖm ta sÏ t×m ®­îc m, n
B. bµi tËp
Bµi 1:Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0, víi m lµ tham sè. T×m m ®Ó gi÷a hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n : 2x1 + 3x2 = 13
Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2mx + m = 7
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 7, m = - 4, m =

b. Cm ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi (m
c. ViÕt mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. TÝnh x1 theo x2.
d. TÝnh theo m:
 ;

e. TÝnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu, 2 nghiÖm d­¬ng.
g. Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th×

; 2x1+x2 = 0 ;

 ;

h. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x1(x2 – x1)- x22.
LËp ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã 2 nghiÖm lµ sè ®èi cña c¸c nghiÖm ph­¬ng tr×nh trªn.
Bµi 3 : Cho ph­¬ng tr×nh: x2-(m+1)x + m = 0
gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3
T×m m ®Ó tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm b»ng 17
LËp hÖ thøc ®éc lËp gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
Gi¶i ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 4 : Cho ph­¬ng tr×nh: x2- 2mx + 2m – 1 = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m= 4
T×m m ®Ó tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm b»ng 10.
lËp hÖ thøc ®éc lËp gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
T×m m sao cho :

Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh : x2-(2k+1)x + k2 +2 = 0
T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia.
T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh cã
nhá nhÊt .
Bµi6: Cho ph­¬ng tr×nh x2+mx+m-1=0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m=3
Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m
TÝnh tæng vµ tÝch gi÷a c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m= 4
Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m
Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2.
Bµi 8: Cho x2-4x-( m2+2m)=0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m=5.
Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.
TÝnh
theo m
T×m m ®Ó

Bµi 9: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2+6x+m=0
a)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt t/m :

Bµi 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0
a.Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b.T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc m
c.T×m m ®Ó x1-3x2=5
Bµi 11:Cho ph­¬ng tr×nh mx2+(2m-1)x+(m-2)=0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tho¶ m·n
=2006
T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi 12: Cho ph­¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2mx + m – 2 = 0.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 16, vµ t×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi 13: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 – 2(m- 1)x – 4 = 0 ( m lµ tham sè )
T×m m ®Ó
+
= 5
Bµi 14: Cho ph­¬ng tr×nh: X2 – 3x + 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1, x2. TÝnh:
a.
b.
c.
d.
h.
+
e.
i)
g.
k. X1(2x1 - 3) + x22
Bµi 15Cho ph­¬ng tr×nh: X2 - 2x + m - 3 = 0
* T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh :
a. Cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm kÐp. b. Cã 2 nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n:
b1. (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = 0 b2. 3x1 + 5x2 = 0 b3. x
+ x
- x1x2 = 0
* BiÕt ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm lµ x1 = 4. T×m m vµ x2.
Bµi 16Cho ph­¬ng tr×nh x2 – (m+4)x + 3m+3 = 0 ( m lµ tham sè)
a. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2. T×m nghiÖm cßn l¹i.
b. X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x13 + x23
0 .
Bµi 17Cho ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®èi víi x.
(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)
a. Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (3) lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi
gi¸ trÞ cña m kh¸c - 1.
b- T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu.
c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu vµ trong hai
nghiÖm ®ã cã nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia.
Bµi 18Cho ph­¬ng tr×nh : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, víi m lµ tham sè. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A = x12 +x22 víi x1 , x2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
XÐt hai ph­¬ng tr×nh: x2+x+k+1 = 0 (1) vµ x2- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi k = - 1; k = - 4
T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng
?
Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng ?
Bµi 19XÐt hai ph­¬ng tr×nh: x2+x+k+1 = 0 (1) vµ x2- (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi k = - 1; k = - 4
b)T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng
?
c)Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng ?
Bµi 21: Cho 2pt: x2 – (2m + n)x -3m = 0 (1) & x2 – (m + 3n)x - 6 = 0 (2). T×m m, n ®Ó 2pt trªn t­¬ng ®­¬ng
Bµi 22: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 +(m + 1)x +1 = 0 (3)
x2 + x + m+ 1 = 0 (4)
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (3) cã tæng b×nh ph­¬ng hai nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
T×m m hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng.
Bµi 23: T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh : x2 + 2x - m = 0 (5) và 2x2 + m x + 1 = 0 (6) t­¬ng ®­¬ng
Bµi 24: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) kh«ng phô thuéc vµo m.
d) T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23.
Bµi 25:
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 cã tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm lµ 13.
b) §Þnh m ®Ó pt mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 cã tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm lµ 2005.
Bµi 26: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + 5 = 0.
a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
b) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d­¬ng.
Bµi 27. T×m m ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai:
(1-3m) x2 + 2(m-1)x - 2m-3 = 0
( m2-1) x2 + 2x - 2m+5 = 0
Bµi 28. 1.Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× c¸c PT sau cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm kÐp Êy
a) x2 - (m + 2)x +m2 - 4 = 0.
b) (m + 3)x2 - mx + m = 0.
2.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ( m2-9) x2 + 2(m + 3)x +2 = 0 v« nghiÖ