Cách giải tổng quát pt bậc 3 và bậc 4

Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa về dạng


Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình

 trong đó 
 và 

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số u và v sao cho

 và 

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt


có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức


Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có


Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có


Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3. Khi giải, ta tìm được



Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được


Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (
), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với 
). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e. 
. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.





Mỗi phương trình bậc ba (1) với thực tế hệ số có ít nhất một trong những giải pháp xgiữa các số thực, điều này là một hệ quả của định lý giá trị trung gian . Chúng ta có thể phân biệt một số trường hợp có thể sử dụng cácbiệt ,


Các trường hợp sau đây cần phải được xem xét: [ 17 ]
Nếu Δ> 0, sau đó phương trình có ba nguồn gốc khác biệt thực sự.
Nếu Δ = 0, sau đó phương trình có một gốc rễ nhiều và tất cả các rễ của nó là thực.
Nếu Δ <0, sau đó phương trình có một gốc rễ thực sự và hai nhân liên hợp nonreal phức tạp.
Xem thêm: đa dạng của một thư mục gốc của một đa thức
[ sửa ]Tổng công thức của rễ
Đối với các phương trình bậc ba chung (1) với hệ số thực tế, công thức chung của rễ, về các hệ số, là như sau. Lưu ý rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong những gì sau 
, mà 
là biệt nói trên.


Tuy nhiên, công thức này được áp dụng mà không cần giải thích thêm khi các toán hạng của các căn bậc hai là không âm a, b, c, d là hệ số thực . Khi toán hạng này là có thực và không âm, căn bậc hai là vào thư mục gốc chủ yếu vuông (tích cực) và rễ khối lập phương trong công thức để được hiểu là những người thực sự. Nếu không, không có căn bậc hai và một trong những tùy tiện có thể chọn một trong những gốc rễ tưởng tượng vuông (tương tự trong cả hai phần của giải pháp cho mỗi x i ). Để giải nén các căn bậc phức tạp của biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối lập phương cho phần đầu tiên của biểu thức và một trong ba thứ hai. Sự kết hợp đúng là như vậy mà hai căn bậc hai điều khoản trong một biểu thức giải pháp cho lựa chọn tiếp hợp phức tạp của nhau (mà trong đó hai điều khoản trong mỗi giải pháp tưởng tượng hủy bỏ ra).
Một cách khác để viết các giải pháp có thể thu được bằng cách lưu ý rằng các bằng chứng của công thức trên cho thấy rằng sản phẩm của các căn bậc hai là hợp lý. Điều này cho phép các công thức sau đây trong đó 
hoặc 
là viết tắt cho bất kỳ sự lựa chọn của các gốc hình vuông hoặc hình khối, nếu



Nếu 
và 
, dấu hiệu 
đã được chọn để có 
.
Nếu 
và 
rễ đều bình đẳng:


Nếu 
và 
, biểu thức trên cho rễ là chính xác nhưng sai lệch, che giấu thực tế rằng không có căn bản là cần thiết để đại diện cho rễ. Trong thực tế, trong trường hợp này, có một gốc đôi,


và một gốc đơn giản












Xét phương trình bậc bốn:







 (*)
Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:
Cộng hai vế của phương trình (*) cho 
. Ta có:

 (**)
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là  biểu thức chính phương (trường hợp vế