Cách giải khác bài hình của Thùy Anh

NHỜ CÁC THẦY CÔ GIẢI GIÚP BÀI HÌNH KHÓ
Câu 8 Thi HSG Vĩnh Phúc 14/01/2018
Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm B, C cố định thuộc (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) ( điểm A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải của Thầy Đinh Văn Hưng

Ta có

Cách khác bài hình của Vương Thùy Anh

Gọi E là trực tâm của ∆ABC, N là giao điểm của HM và AE → N là trung điểm của AE.
Qua C kẻ đường vuông góc với BC cắt HM tại F.
Kẻ OK
BC tại K → BK = CK.
Kẻ đường kính AD. Gọi I là giao điểm của BF và OK
Do IK//CF (cùng vuông góc với BC)
→ I là trung điểm của BF→IK =
CF.
Từ đó suy ra: IB = IC = IH = IF (1)
Ta cũng chứng minh được các tứ giác CFNE và BECD là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song )
Từ CFNE là hình bình hành → CF = NE.
Từ BECD là hình bình hành → 3 điểm E, K, D thẳng hàng
Từ đó suy ra OK = NE, do đó OK = CF → IK =
OK hay I là trung điểm của OK.
Do O, B, C và K cố định nên I là điểm cố định và IB không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định tâm I, bán kính IB.