Các đề luyện thi

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 9
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm):
Cho biểu thức

1. Rút gọn M
2. Tìm x để M>1
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình:


2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 3. (4,0 điểm):
Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:


3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu
Ý
Lời giải
Điểm

1

1
Điều kiện:

0,5


2

a/ Cho biểu thức

Rút gọn M và tìm x để M>1
*









Vậy M=
với

*M<1

Ta có
.
Vậy M >1 khi 1< x < 4 và x






0,5





0,5


0,25


0,5


0,25


0,5




0,5









0,5

2

1

Điều kiện





Nếu
thì (1)


Nếu
thì (1)

Phương trình này có vô số nghiệm thỏa mãn:

Vậy

0,25



0,5
0,25



0.25
0.25
0.25

0,25


2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Ta có:


(vì
)
Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0



(vì
)
Suy ra:
, đẳng thức xảy ra khi

Suy ra: minA =
, khi




0,25

0,5
0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

3

1

Tìm được A(0; 3); B(0; 7)
Suy ra I(0; 5)
1,0
0,5


2

Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT:
x + 3 = 3x + 7

x = – 2
yJ = 1
J(-2;1)
Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20

OJ2 + IJ2 = OI2
tam giác OIJ là tam giác vuông tại J


(đvdt)

0,5
0,5

0,5
0,5

4







1

Vì CD
AB
CM = MD
Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
Mà AE
CD
tứ giác ACED là hình thoi
0,5
0,5
0,5
0,5


2

Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật
Áp