Các đề luyện thi

Kì thi : Học sinh giỏi
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
Tìm để có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phương trình là tham số).
Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho
Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho bốn số thực bất kì Chứng minh:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M là trung điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đường nào ? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó.
Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K. Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là 10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5: (3,0 điểm)
Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương.
Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng
để cho bất kì vùng
nào đó trên bảng này cũng chứa ít nhất 4 ô đã quét sơn.


Đáp án

Bài
Câu
Nội dung

1

(4 điểm)


1.1
(2 đ)
Để A có nghĩa, trước hết Đặt

Để biểu thức A có nghĩa thì: (*)
Khi đó, rút gọn ta được:



1.2
(2 đ)

Để A là số nguyên thì x nguyên và phải bằng hoặc
- Nếu ( loại vì trái điều kiện (*)).
- Nếu (loại)
- Nếu và
- Nếu và
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì và

2

(4 điểm)


2.1
Để phương trình có hai nghiệm thì:
(1)



Với điều kiện (1),
và

(thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và khác 3)


2.2
Với điều kiện (1), (2)




+ Nếu và cùng dấu thì



hoặc (3)




Khi đó (2) thỏa điều kiện (3)).



+ Nếu và trái dấu thì (4)
Khi đó (2)
(không thỏa điều kiện (4).



+ Vậy, để thì

3

(3,0 điểm)


3.1
Ta có:


đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì.
Vậy:
Dấu đẳng thức xảy ra khi hay


3.2
áp dụng kết quả trên, ta có:
nên
khi

4

(6,0 điểm)


4.1
+ Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt)
nên (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)
+ Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đường trung bình của tam giác BCD), nên:
không đổi).
+Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn