Các đề luyện thi

Kì thi : Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

Câu I (2,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
.
Cho x, y thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức
.

Câu II ( 2,0 điểm)
Giải phương trình
.
Giải hệ phương trình
.
Câu III (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.
Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
Tính
.
Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.
Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.




ĐÁP ÁN

I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm.
Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu
Nội dung

Câu I (2,0đ)


1) 1,0 điểm















2) 1,0 điểm
Có
















Câu II (1,0đ)


1)1,0 điểm
phương trình đã cho tương đương với
(1)


Do







<=>x=2

2)1,0 điểm




(Do
)






Do



Thay y=-x vào(2)




Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2).

Câu III (2,0đ)


1)1,0 điểm
Đặt A = n2 + n + 1 do
n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k
)


* n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3)


* n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.


* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9
Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.

2)1,0 điểm
 Giả sử tồn tại m
để phơng trình có nghiệm x1, x2
Theo vi-et:

(x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3


Với m
. Ta có x1x2
và x1 + x2
x1hoặc x2 nguyên và







Với m = 1; m = 2 thay vào ta thấy phơng trình đã cho vô nghiệm.


Với m = 3 thay vào phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho là x =1; x = 8 thoả mãn. Vậy m= 3

Câu IV (2,0đ)


1) 1,0 điểm
Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề



Gọi K là giao điểm của BO với DF =>
vuông tại K


Có






2) 1,0 điểm
Khi AM = AB thì
vuông cân tại A =>
.Có

=> Tứ giác BDHF nội tiếp


=> 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn.


=>
=>
, mà
=> A, O, H thẳng hàng



=> Tứ giác ABHI nội tiếp.