Các đề luyện thi

Kìthi : Họcsinhgiỏi
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
với
.
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và
.
Tính giá trị của biểu thức
.
Câu 2 (2 điểm).
a)Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình
.
Câu 3 (2 điểm).
a)Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình
.
b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn
.
Chứng minh rằng
là số chính phương.

Câu 4 (3 điểm).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
a) Chứng minh

b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.

Câu 5 (1 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
----------------------Hết------------------------


ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM

Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1a:
(1,0 đ)


0.25




0.25




0.25



=

0.25

Câu 1b:
(1,0 đ)


0.25


Vì a > b > 0
nên từ (*) ta có a = 2 b
0.25


Vậy biểu thức

0.25




0.25

Câu 2a:
(1,0 đ)
Đặt



0.25



ta đượcphươngtrình

0.25


Với t = -4 ta có



0.25


Với t =2 ta có


. Kếtluậnnghiệmcủaphươngtrình.
0.25

Câu 2b:
(1,0 đ)
Từ hệ ta có

0.25




0.25



* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); (
);(
)
0.25


* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); (
);(
)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x ; y) = (0; 0); (
);(
);(
);(
)
0.25

Câu 3a:
(1,0 đ)



Do y nguyên dương

0.25


Vì


0.25


mà

và
(Do
)
0.25


*Nếu

*Nếu


Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:

và

0.25

Câu 3b:
(1,0 đ)


(*)
0.25


Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (
). Thì


0.25


Mà
mà

0.25



Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được
và
là số chính phương =>
là số chính phương.

0.25

Câu 4a:
(1,0 đ)
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có
sđ
(1)
0.25


Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA)
(2)
0.25


Tứ giác MHOK nội tiếp
(cùng chắn
) (3)
0.25


Từ (1), (2), (3) ta có
hay

0.25

Câu 4b:
(1,0 đ)
Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)

0.25



sđ
;
sđ



tứ giác AMGO nội tiếp (5)
0.25


Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn


0.25



và
đồng dạng

hay OD.GF = OG.DE.
0.25

Câu 4c:
(1,0 đ)
Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho
MA’ = MA
đều