Cac bai toan ve BĐT, cuc tri ( cau 5) thi vao 10

15 BÀI TOÁN TÌM GTLN VÀ GTNN
Bài 1


Bài 2


Bài 3


Bài 4


Bài 5


Bài 6


Bài 7


Bài 8


Bài 9


Bài 10


Bài 11


Bài 12


Bài 13


Bài 14


Bài 15


Bài 16 (1 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
=

ỏn: Đk: x; y ( Z, x; y ≥0
Ta có
=>
,
là các căn đồng dạng với

đặt
= a
;
= b
( a; b là các số nguyên không âm)
Ta đợc: a + b = 5
=> (a; b) = (0;5); (1;4); (2;3); (3;2) (4;1); (5;0)
=> (x;y) = (0;50); ( 2; 32); (8; 18); ( 18;8); (32;2); (50;0) (thoả mãn điều kiện)
Bài 17Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình:
.
Câu IV:


Đặt
= a
và
= b
với a, b là các số nguyên dương => 3a + 7b = 40.
=> b< 6. Thử các giá trị b = 1,2, 3,4,5 => b = 4 và a = 4 => x = y = 32
b = 1 và a = 11 => x = 242 và y = 2.
------------------------------------
Bài 18Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
Câu IV: Sử dụng hằng đẳng thức x2 – y2 = ( x – y)( x + y)
Biến đổi biểu thức thành A = (

ab ≤
= 4/ 4 = 1 => A ≥ 9 , dấu bằng khi a = b = 1. Vậy AMin = 9 , khi a = b = 1.
------------------------------------
Bài 19Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá
.
Câu IV: Đặt x = 7 + 4
, y = 7 - 4

x + y = 14, x.y = 1 => x, y là nghiệm của phương trình X2 - 14X + 1 = 0
Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 14Sn+1 + S = 0 ( *)
=> Sn+2 = 14Sn+1 - S
S1 = x + y = 14 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 194 S3 = 14S2 – S1 = 2702………..
Tương tự ta tính được S7 = 14S6 – S5 = 96970054.
Ta có 0 < y < 1 => 0 < yn < 1
=> xn + yn - 1 < xn < xn + yn
=> Sn - 1 < xn < Sn => Phần nguyên của xn là Sn - 1.
Vậy số nguyên cần tìm là S7 -1 = 96970053.

Chú ý: Biểu thức ( *) được chứng minh nhờ điều kiện X2 -14X +1 = 0
.( Xem Toán phát triển của thầy Vũ Hữu Bình)
------------------------------------
Bài 20: Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12.
Câu IV: Nhẩm nghiệm => f(x) = x3 -10x – 12 có nghiệm x = -2 nên x3 -10x – 12 = ( x + 2)( x2 – 2x – 6)
Đồng nhất với đa thức ở dầu bài ta được m =2, n = -2 và p = -6.

------------------------------------
Bài 21: Chứng minh rằng 
là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m.
Câu V : Giả sử số đã cho là số hữu tỉ => (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) = k2 , k là số nguyên dương.

, với a = m2 + 5m + 5 nên a > 5. (1)
<=> a2 – k2 = 1 <=> ( a-k)(a+k) = 1 <=> (a-k) và (a +k) đồng thời bằng 1 hoặc -1 => a =
(2)
và (2) => không có giá trị nào của m thoả mãn điều giả sử => đpcm.

Bài 22: Tìm số nguyên dương m để
là số hữu tỉ.
Câu V: Đặt m2 + m + 23 = k2 ( k



Vì