Các bài toán hay2.

CÁC BÀI TOÁN KHÓ

HỌC SINH YÊU CẦU







Quy Nhơn, ngày 01 tháng 05 năm 2012Bài 1.
Cho a,b là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức P=
.
Giải:
Biến đổi biểu thức:
P =

(BĐT Cô- si cho hai số a, b > 0)
Vậy Pmin = 1 khi và chỉ khi a = b.

Bài 2.
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện
.
Chứng minh:
(1)

Giải:
Biến đổi tương đương:
(1)
1 – x2 + 1 – y2 + 1 – z2 + 2


9 – (x + y + z)2

3 – (x2 + y2 + z2) + 2


9 – (x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx)



3 – (xy + yz + zx)



3 – (xy + yz + zx) (2)
Ta chứng minh BĐT (2) đúng.
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương, ta có :
x2 + y2
2xy
1 + x2y2 – (x2 + y2)
1 + x2y2 - 2xy = (1 – xy)2


= 1 – xy (0
xy
1)
Chứng minh tương tự, ta có :

,

Cộng vế theo vế các BĐT trên, ta có:

1 – xy + 1 – yz + 1 – xz



3 – (xy + yz + xz)
Do đó BĐT (2) được chứng minh, suy ra BĐT (1) được chứng minh.

Bài 2.
Cho a,b,c là các số nguyên sao cho 2a+b, 2b+c, 2c+a đều là các số chính phương(*).
a) Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương chia hết cho 3.
Chứng minh rằng tích (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27.
b) Tồn tại hay không các số nguyên a, b, c thỏa điều kiện (*) sao cho (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 27?

Giải:
a) Ta có:
2a + b = x2
2b + c = y2
2c + a = z2 (x, y, z
Z, a, b, c
Z)
Cộng vế theo vế, ta được:
3(a + b + c) = x2 + y2 + z2, suy ra x2 + y2 + z2
3.
Vì có ít nhất một trong ba số chính phương chia hết cho 3, nên không mất tính tổng quát, giả sử x2
3, khi đó y2 + z2
3 suy ra y2 và z2 đều chia hết cho 3 (bởi vì một số chính phương hoặc chia hết cho 3, hoặc chia cho 3 dư 1). Do đó y
3 và z
3.
Suy ra x2 + y2 + z2
9, hay 3(a + b + c)
9 nên a + b + c
3.
Ta có 2a + b = x2
3, a + b + c
3, suy ra 2a + b – (a + b + c)
3
a – c
3.
Tương tự, 2b + c = y2
3, a + b + c
3, nên b – a
3,
2c + a = z2
3, a + b + c
3, nên c – b
3.
Vì vậy (a – c)(b – a)(c – b)
27 hay (a – b)(b – c)(c – a)
27.

b) Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c
Giả sử tồn tại các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện (*), mà (a – b)(b – c)(c – a)
27.
Khi đó có ít nhất một trong ba thừa số a – b, b – c, c – a không chia hết cho 3.
Chẳng hạn a – b không chia hết cho 3.
Ta có x2 = 2a + b = 3a – (a – b)
3, nên x
3.
Vì x
3 nên x2 ( 1 (mod 3). Mặt khác, ta có x2 + y2 + z2 ( 0 (mod 3)
Suy ra y2 + z2 ( 2 (mod 3), do đó y2 ( z2 ( 1 (mod 3)
Khi đó y2 = 2b + c = 3b – (b – c)
3
b – c
3,
z2 = 2c + a = 3c – (c – a)
3,