Các bài toán hay

CÁC BÀI TOÁN KHÓ

HỌC SINH YÊU CẦU







Quy Nhơn, ngày 25 tháng 04 năm 2012

Bài 1.
Cho a, b là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0 (1).
Tính A = (a2011 – a2012 + a2008 + a2009 + a6 – 5 + b)(b2011 – b2012 + b2008 + b2009 + b6 – 5 + a).

Giải:
Vì a, b là các nghiệm của phương trình (1) nên: a2 – a – 1 = 0, b2 – b – 1 = 0
Hay: a(a – 1) = 1, b(b – 1) = 1.
Khi đó ta có: a2011 – a2012 + a2008 + a2009 = 0 = b2011 – b2012 + b2008 + b2009
Thật vậy, thực hiện các phép biến đổi và sử dụng điều kiện của giả thiết:
a2011 – a2012 + a2008 + a2009 = -a(a – 1).a2010 + a2008 + a2009
= - a2010 + a2009 + a2008 = - a(a – 1).a2008 + a2008 = - a2008 + a2008 = 0.
Chứng minh tương tự ta cũng có: b2011 – b2012 + b2008 + b2009 = 0.
Từ đó biểu thức đã cho được thu gọn:
A = (a6 – 5 + b)(b6 – 5 + a) = (a7 + b7) – 5(a6 + b6) – 5(a + b) + a6b6 + 25
Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = a + b = 1; P = a.b = - 1
Biến đổi:
a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4) = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 – 3a2b2]
= [(a + b)2 – 2ab]{[(a + b)2 – 2ab]2 – 3a2b2}
= (S2 – 2P)[(S2 – 2P)2 – 3P2] = (S2 – 2P)(S4 – 4PS2 + P2)
Thay S = 1, P = - 1 vào biểu thức trên ta có:
a6 + b6 = (S2 – 2P)(S4 – 4PS2 + P2) = (1 + 2)(1 + 4 + 1) = 18
Biến đổi:
a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b4 – a4b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)[(a2 + b2)2 – 2a2b2]– a3b3(a + b)
= (a + b)[(a + b)2 - 3ab]{[(a + b)2 – 2ab]2 – 2a2b2} – a3b3(a + b)
= S(S2 – 3P)[(S2 – 2P)2 – 2P2] – SP3
= S(S2 – 3P)(S4 – 4PS2 + 2P2) - SP3
Thay S = 1, P = - 1 vào biểu thức, ta được:
a7 + b7 = S(S2 – 3P)(S4 – 4PS2 + 2P2) - SP3 = 1.(1 + 3)(1 + 4 + 2) + 1 = 29
Vậy:
A = 29 – 5.18 – 5.1 + 1 + 25 = - 40.

Bài 2.
Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 5x2 + y2 – 2xy + 2x – 6y + 1 < 0 (1)

Giải :
Đặt f(y) = y2 – 2y(x + 3) + 5x2 + 2x + 1, ta có f(y) < 0 (2)
Xem (2) là một tam thức bậc hai theo y có hệ số a = 1 > 0
Ta có :
’ = (x + 3)2 – 4(5x2 + 2x + 1)
= x2 + 6x + 9 – 20x2 – 8x – 4 = - 19x2 – 2x + 5 = - [(x + 1)2 + 18x2] + 6
Nhận xét, nếu x
0 (x
Z), thì
’ < 0. Khi đó f(y) > 0,
y , mâu thuẫn với (2).
Do đó x = 0.
Thay x = 0 vào (1): y2 – 6y + 1 < 0
(y – 3)2 < 8,
Vì y
Z, suy ra

{0 ; 1 ; 2}
(y – 3)
{0 ;
1 ;
2}
y
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Vậy các giá trị nguyên của x, y thỏa mãn (1) là:
x = 0 ; y
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

Bài 3.
Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2a + 2b + 2c.
Giải:
Ta có: