Bồi dưỡng toán 9 đề 21

ĐỀ KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng x2 + y2 <1
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 3
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :

Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c (
) thỏa mãn đẳng thức:


Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân.





ĐÁP ÁN ĐỀ 21
Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng x2 + y2 <1
Lời giải:
Ta có: (x – y)(x2 + y2 – 1) = x3 + xy2 – x2y – y3 – (x – y)
= x3 + xy2 – x2y – y3 – (x3 + y3)
= –y(x2 + 2y2 – xy)

(1)
Vì (x – y) > 0 nên từ (1) suy ra x2 + y2 – 1<0, hay là x2 + y2 <1. ĐPCM.
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Lời giải:
Ta có: xy + 6x + 2008y + 12045= 0

x(y + 6) +2008(y + 6) –3 =0

(x + 2008)(y + 6) = 3


Kết luận: Nghiệm của phương trình:
(x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–2009; –9), (–2011; –7)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 3
Lời giải:
Ta có: (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2 =
=(ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2) (1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số thực dương, ta có:
ab3 + ab3 + bc3 + ca3 + ca3 + ca3 + ca3
=7a2bc
Hay là 2ab3 + bc3 + 4ca3
7a2bc (2)
Tương tự như vậy, ta có: 4ab3 + 2bc3 + ca3
7ab2c (3)
Và ab3 + 4bc3 + 2ca3
7abc2 (4)
Từ (2), (3), (4) cộng vế theo vế, ta suy ra: 7(ab3 + bc3 + ca3)
7(a2bc + ab2c + abc2)

(ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2)
0 (5)
Từ (1) và (5) suy ra (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2
0


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại (a; b; c) = (1; 1; 1)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :

Lời giải:
Đặt 3x + 4 = y. Khi đó
và

Ta có P > 0
và do đó giá trị lớn nhất Pmax > 0, và ta chỉ cần xét trường hợp

Với
, ta có:
(1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số dương, ta có:

(2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ (1) và (2) suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy Pmax =
đạt đượt tại


Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c (
) thỏa mãn đẳng thức:

(1)
Lời giải:
Xét các trường hợp sau:
a = 1. Khi đó (1)

Trường hợp này loại vì

a = 2. Khi đó (1)
(2)
Xảy ra các trường hợp:
*) b ≤ 3. Khi đó

Thay vào (3) ta có
. Điều này vô lý, loại.
*) b = 4. (2)

*) b = 5. (2)

*) b = 6. (2)

*) b ≥ 7. Khi đó:


(loại)
a = 3. Khi đó (1)
(3)
Vì b
a
3 nên xảy ra:
b = 3. (3)


b = 4. (3)

b
5.


(loại)
a
4. Khi đó


(loại)
Vậy (a; b; c) = (2; 4; 15), (2; 5; 9), (2; 6; 7), (3; 3; 8), (3; 4; 5)


Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân.
Lời giải:
Qua I kẻ đường thẳng M’N’ vuông góc với BI ở đó M’
AC,
N’
CD.
Vì D là điểm đối xứng của A qua BC nên tam giác DBC
là tam giác vuông tại D. Và từ đó dễ dàng nhận thấy
các tứ giác BIDN’ và BIM’A là các tứ giác nội tiếp.
Ta có:
BN’I =
BDI (1)

BDI =
BAI (Tam giác ABD là tam giác cân) (2)

BAI =
BM’I (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
BN’I =
BM’I
BM’N’ là tam giác cân tại B. (4)

IM’ = IN’
Bây giờ ta sẽ chứng minh MN
M’N’. Thật vậy, giả sử ngược lại MN
M’N’.
Vì các đường thẳng MN và M’N’ cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MM’NN’ là hình bình hành
MM’ song song với NN’. Điều này vô lý vì MM’ cắt NN’ tại C.
Vậy MN
M’N’ và từ kết quả ở (4) ta suy ra
BMN là tam giác cân. ĐPCM.