Bồi dưỡng Toán 9 (đề 18)

Bài 1: Tích của 1 nghiệm của phương trình x2 + ax + 1 = 0 với 1 nghiệm của phương trình x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm của phương trình x2 + cx + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b và c.
Lời giải:
Gọi x1, x3 và x1x3 lần lượt là nghiệm của các phương trình x2 + ax + 1 = 0, x2 + bx + 1 = 0 và x2 + cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán.
Dễ dàng nhận thấy
và
lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình trên.
Ta có:
và



Tương tự như vậy, ta có:






(1)
Ta có: x1 + x2 = –a, x3 + x4 = –b, x1x3 + x2x4 = –c và x1x2 = 1, x3x4 = 1. (2)
Thay (2) vào (1) ta suy ra:


Hay là a2 + b2 + c2 + abc = 4
Vậy a2 + b2 + c2 + abc = 4 là hệ thức liên hệ giữa a, b và c

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
với

Lời giải:
Ta có:
(1)
Từ đẳng thức (1) suy ra:
x3 = 3x2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3
x4 = 3x3 – x2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8
x5 = 3x4 – x3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21


Vậy P =

Bài 3: Chứng minh rằng

Lời giải:
Ta có:



Lại có

Suy ra:
(1)
Tương tự như vậy, ta có:

(2)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM.

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác.
Chứng minh rằng:

Lời giải:
Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c. Khi đó x, y, z là các số dương và:
a = y + z, b = z + x, c = x + y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

và





Tương tự như vậy, ta có
và

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:


Hay là

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài toán được chứng minh.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 450 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh

Lời giải:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM
Dễ dàng nhận thấy
ABM =
ADF(cạnh, góc, cạnh)

AF = AM
Mặt khác:

NAF =
NAD +
DAF =
NAD +
MAB =
BAD –
MAN = 900 – 450 = 450
Từ đó suy ra:
MAN =
FAN(cạnh, góc, cạnh)

MN = FN =BM + DN
Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN2 = CM2 + CN2

(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1)
Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2. ĐPCM
b)Ta có:
EAF =
MAN +
NAF = 450 + 450 = 900

EAF là tam giác vuông

(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay là:
.ĐPCM.