Boi duong hsg 9

Bài 1 (4 điểm)
Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0.
Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn :
.

Ta có A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2)
= [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2]
= (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
= (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
Vì x, y, z là ba cạnh của tam giác nên y + z > x, z + x > y, x + y > z và x + y + z > 0
( (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > 0
( A > 0 (đpcm).
Cách 1.
(1). Điều kiện x, y > 0.
Nếu x ( y (
hay
( x (
. Ta được 0 < x (
.
Vì x là các số tự nhiên nên x = 1. Thay vào (1) ta được y = 2.
Trường hợp này ta được x = 1, y = 2 thoả mãn giả thiết.
Nếu x ( y, tương tự như trên, ta được x = 2, y = 1 thoả mãn giả thiết.
Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).
Cách 2. Điều kiện x > 0 và y > 0.
Khi đó :
( 2(x + y) = 3xy ( 9xy - 6x - 6y = 0
( (9xy - 6x) – (6y – 4) = 4
( (3x – 2)(3y – 2) = 4 ( 3x – 2 ( Ư(4) = {(1; (2; (4}
Vì x là các số tự nhiên lớn hơn 0 nên x ( 1( 3x – 2 ( 1. Hơn nữa 3x – 2 chia cho 3 dư 1. Suy ra 3x – 2 ( {1 ; 4}. Từ đó, ta có hai trường hợp:
TH1 :
;
TH2 :
.
Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).

2 (2 điểm)
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy
GIẢI
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy
Ta có A = (x + y)3 - 3xy(x + y) + xy = 1 - 2xy (1)
Từ x + y = 1 => (x + y)2 = 1 => x2 + y2 + 2xy = 1
=> 2xy = 1 - (x2 + y2) thay vào (1) ta được
A = x2 + y2 với y = 1 - x ta được
A = 2x2 -2x + 1 = 2(x2 -2x.1/2+1/4-1/4) + 1
= 2(x - 1/2)2 +1/2
1/2 Dấu “=” xảy ra ( x = 1/2
Vậy Min A = 1/2 ( x = 1/2 và y = ẵ
Bài 3: ( 3 điểm)
a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3+ y3
b) Phân tích đa thức sau thanh nhân tử:
x2 - x - 2010.2011


x+y = 3 suy ra (x+y)2 = 9 suy ra x2+y2+2xy =9
suy ra xy=(9-5):2=2
nên x3+y3=(x+y)(x2+y2-xy)=3(5-2)=9
x2 - x - 2010.2011=(x2 - 2011x)+(2010x - 2010.2011)
= x( x – 2011) + 2010(x – 2011) =(x-2011)(x+2010)

Bài 4: ( 5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
.
GIẢI

a(2đ), A =
=
Ta thấy :

nên