Bổ sung đáp án Mã đề 02

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN

Đề: 02

đề thi học sinh giỏi giỏi cấp huyện
năm học 2011 - 2012

Ngày 01 tháng 01 năm 2012


Câu 1:
1. Tính giá trị của biểu thức: P = 2x3 + 2x2 + 1 với x =
2. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 5a + b = 22. Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là các số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó.


Câu 2:
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:


Câu 3:
Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn a2 + a = 2b2 + b.
Chứng minh rằng a - b và a + b + 1 đều là các số chính phương.
2. Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện

Câu 4:
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AK, BE, CF cắt nhau tại H. Goi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:

OA EF.
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác KEF.
Nếu AK + BE + CF = 9r thì tam giác ABC đều.

2. Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn
Câu 5: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:










phòng gd&đt triệu sơn

Đáp án & biểu điểm
Thi HSG Đề 10


Câu
Nội dung đáp án
Điểm

1
(4,0đ)
1. Đặt
(

Suy ra: (3x + 1)3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) =
+ 3(3x + 1)
=>
=

=> 27x3 + 27x2 =

=> 2x3 + 2x2 = 1
Vậy P = 2x3 + 2x2 + 1 = 2.
1,0


0,5




0,5


Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + ax + b = 0
(0
)
Để phương trình có nghiệm thì
= a2 - 4b
0.
Theo định lí Vi - et, ta có:

Do đó: 5a + b = 22 ( -5(x1 + x2) + x1x2 = 22 ( (x1 - 5)(x2 - 5) = 47
Vì phương trình có hai nghiệm là các số nguyên dương nên: -5

Suy ra: x1 - 5 = 1 => x1 = 6; x2 - 5 = 47 => x2 = 52
Khi đó: a = - 58; b = 312 thõa mãn 5a + b = 22
Vậy hai nghiệm cần tìm là: x1 = 6; x2 = 52.
0,5

0,5

0,25


0,75






2
(4,0đ)
1. ĐK: x
1
(1)(

(

(

Suy ra:
(
( x2 - 2x + 2 = 0 (PTVN)
 0,5

0,5

0,5

0,5


2. Ta có:

(
(
(

(

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =


0,5

0,75
0,25


0,5

3
(4,0đ)
1. Ta có:
(a - b)(a + b + 1) = a2 - ab + ab - b2 + a - b = (a2 + b) - (2b2 + b) + b2 = b2 là số chính phương