Bộ đề thi HSG Toán 9(năm 2011) co DA

Đề 100



Bài 1: (5,0 điểm). Cho biểu thức:P =

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x

Bài 2: (4,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình sau:


b) Giải phương trình: x = 2005-2006 (2005-2006 x2)2
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =

b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c
0
Tính P = (2008+
)(2008 +
) ( 2008 +
)
Bài 4: (5,0 điểm). Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF .
a.Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên 1 đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB .
c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi.
Bài 5: (2,0 điểm). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Kẻ BB1
, AA1

Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng.











2, a) Đk:
Ta sẽ chứng minh x=y. Thật vậy

Tương tự:
(2). Từ (1) và (2) ta có:

Ta có:
. Vậy hệ có nghiệm x = y =1
b) Đặt y = 2005 - 2006 x2 Phương trình trở thành :


x - y = 2006 (x2 - y2)

= 0


Với x = y
x = 2005 - 2006 x2
2006x2 + x - 2005 = 0


Với 2006 (x+y) - 1 = 0
x + y =

y =
- x

- x = 2005-2006 x2

20062x2 - 2006x - 2005.2006 +1 = 0 (

3. a) Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x2 ta được:
M =
. M đạt giá trị lớn nhất khi
nhỏ nhất
=>
= 2 => x =
1. Vậy M lớn nhất bằng 1/3 khi x =
1
b) Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc

( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0
a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = 0 ( vì a + b + c
0)
( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0
a = b = c
P = (2008+
)(2008 +
) ( 2008 +
)
P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) = 20093
4. a)
ABF
và
AFC đồng dạng (g_g). Ta có :
AB/ AF=AF/AC
AF2=AB.AC

AF=
Mà AE=AF nên AE=AF=
không đổi
Vậy E,F thuộc đường tròn (A;
) cố định.
b) Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn. Ta có :
AIF =
AOF (1)

AOF =
EOF và
EKF =
EOF

EKF =
AOF (2).Từ(1) và(2)
AIF =
EKF
Do đó : EK vàAB song song vơí nhau
c) Cm được A,N,O thẳng hàng và AO
EF ;
Gọi H là giao điểm của BC và EF .
Ta có :
ANH và
AIO đồng dạng nên

Suy ra :AH.AI =AN.AO. Lại có :AN .AO=AE2 =AB.AC
Do đó : AI.AH =AB.AC
không đổi . Vậy H cố định
Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp OIN
luôn qua I và H ;Do đó tâm đương f tròn này nằm trên đường trung trực của IH
5. Theo bài