Bộ đề thi HSG Toán 9(năm 2011) co DA

Đề 106

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức :P=

a) Tìm giá trị của x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm x sao cho P>1
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình:

Bài 3: (3 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4: (2 điểm) Cho 4 số x, y, z, t. Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88 = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2
Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d
OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Đề 107
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức
.
b) Tìm các giá trị nguyên của
để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình
(1)

Bài 3: (4 điểm)a) Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho
là số nguyên dương.
b) Cho x, y , z là các số dương thoả mãn xyz
x + y + z + 2 tìm giá trị lớn nhất của x + y + z

Bài 4: (2 điểm)Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:


Bài 5: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng

b) Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
c) Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lượt chạy trên hai đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.



(106)2. a)


Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1);

3. *Với (x(( 2 và (y(( 2 ta có:

( x2y2 ( 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2( x2 + y2 + 2(xy(> x2 + y2 + xy
* Vậy (x(( 2 hoặc (y( ( 2
- Với x =2 thay vào phương trình ta được 4 + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 ( Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =-2 thay vào phương trình ta được 4 - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 ( Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =1 thay vào phương trình ta được 1 + y + y2 = y2 hay y = -1
- Với x =-1 thay vào phương trình ta được 1 - y + y2 = y2 hay 1- y = 0 ( y =1
- Với x = 0 thay vào phương trình ta được y =0
Thử lại ta được phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1)
4. Ta có: (x + y)(z + t) + xy + 88 = 0<=> 4(x + y)(z + t) + 4xy + 352 = 0
=>A + 4(x + y)(z + t) + 4xy =x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 + 4xz + 4xt + 4xy + 4yz + 4yt =
=x2 + 4x(y + z + t) + 4(z + y + t)2 + 4y2 - 4yz + z2 + z2- 8zt +16t2 + y2- 4yt + 4t2 =
=[x + 2(z + y + t)]2 +