Bộ đề thi HSG Toán 9(năm 2011) co DA

Đề 114
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x sao cho A < 2.
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: (4 điểm) 1. Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2 ( 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2.
2. (2đ) Cho các số dương a, b, c biết
. Chứng minh rằng: abc

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho
. Chứng minh rằng:
MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Bài 5: (2 điểm) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
Đề 115
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gon biểu thức B.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 5.
Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0
Bài 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa món:
.
Tìn giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4: (3 điểm)




Bài 6: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC và AD với xy theo thứ tự là M, N.
a) Chứng minh rằng: MCDN là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN
c) Gọi I là đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I di chuyển trên đường tròn nào ?
(114)2. a) Điều kiện
. Hệ đã cho

Giải PT(2) ta được:
Từ (1)&(3) có:
. Từ (1)&(4) có:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:

b) Khai triển và rút gọn và chia hai vế cho x2. Đặt x + 1/x = y. Có nghiệm x =

3. 1) Đặt y =3-x bài toán đã cho trở thành: tìm GTNN của biểu thức:
P= x4 + y4 + 6x2y2 trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn:

Từ các hệ thức trên ta có:
( (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) ( 5 + 4.9 =41
( 5(x2 + y2) + 4(2xy) ( 41
Mặt khác 16 (x2 + y2) 2 + 25(2xy)2 ( 40(x2 + y2)(2xy) (1). Dấu đẳng thức xảy ra ( 4 (x2 + y2) =5(2xy).
Cộng hai vế của (1) với 25(x2 + y2)2+16(2xy)2 ta được: 41[(x2 + y2) 2+(2xy)2]( [5(x2 + y2)+4(2xy)]2 ( 412
hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 ( 41 ( x4 + y4+6x2y2 ( 41
Đẳng thức xảy ra

Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 41 đạt được ( x=1 hoặc x=2
2. Theo giả thiết

Do b > 0; c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có:

(1)
Tương tự ta cũng chứng minh được
(2)

(3)
Từ (1); (2); (3) ta chứng minh được

=> 1
=> đpcm
4. Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp
, MCAP nội tiếp
.
Lại có
(cùng phụ góc NMP)
(1)
Do DE // NP mặt khác MA
NP
(2)