Bộ đề thi HSG Toán 9(năm 2011)

Đề 96



Bài 1: (4,0 điểm).
Cho biểu thức: A =

a.Rút gọn biểu thức A.
b.Tính giá trị biểu thức A khi
.
Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:


b) Giải phương trình:  +  = x2 - 10x + 27
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức: E =
.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:


Bài 4: (6,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A và B ). Tia CM cắt tia DA tại N. Vẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE.
1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD.
3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi.
Bài 5: (2,0 điểm).
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF












1. Điều kiện:
. A =





2. a) Giải hệ phương trình:
. Từ (1) ta có PT (2) có dạng :
=
















+ Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1
x
1
+ Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn
x=0, y=0 loại
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)
b)  +  = x2 - 10x + 27. Đk : 4 ( x ( 6. Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được :
 +  =  +  (  +  = 2
Dấu “ = ” xảy ra (

Mặt khác : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )2 + 2 ( 2
Dấu “ = ” xảy ra ( x - 5 = 0 ( x = 5. Do đó :  +  = x2 - 10x + 27 ( x = 5
3. a) Đặt a =
, b =
, c =
( abc =
= 1( x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c) và x + z = b(c + a)
( E =
+
+
. Dễ dàng chứng minh đợc
+
+
(

Nhân hai vế với a + b + c > 0 (
+
+
(
(a+b+c)
(
+
+
(
(
=
( E (

Dấu "=" xảy ra ( a = b = c = 1. Vậy min E =
khi a = b = c = 1
b) ĐK:
Pt

do

suy ra hoặc cả 3 số x, y, z cùng dương, hoặc trong 3 số này có hai số âm, một số dương. Ngoài ra nếu (x,y,z) là một nghiệm thì (-x,-y,z) ; (-x,y,-z) và (x,-y,-z) cũng là nghiệm. Do vậy chỉ cần xét nghiệm (x,y,z ) với x, y, z là các số nguyên dương. Không mất tính tổng quát ta giả sử : x ( y ( z ( 1



mà
. Với z = 1 phương trình trở thành:

Ta có:
từ đó:
mà
. Vậy (x,y,z) = (1,1,1)
Từ nhận xét trên suy ra phương trình có các nghiệm nguyên là (1,1,1) ; (1,-1,-1) ; (-1,-1,1) ; (-1,1,-1) .
4. a) Do NAE = NCE = 1v (gt) nên tg NACE nội tiếp trong đường trònCNE CAE = 450
=> (NCE vuông cân tại C . Mặt khác do CH là trung tuyến nên CH là đường cao ( CHE = 1 v
=> CBE =