Bộ đề thi hsg toan 9_2011+đáp án

ĐỀ KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng x2 + y2 <1
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 3
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đẳng thức:

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân.





ĐÁP ÁN ĐỀ 21
Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng x2 + y2 <1
Lời giải:
Ta có: (x – y)(x2 + y2 – 1) = x3 + xy2 – x2y – y3 – (x – y)
= x3 + xy2 – x2y – y3 – (x3 + y3)
= –y(x2 + 2y2 – xy)
(1)
Vì (x – y) > 0 nên từ (1) suy ra x2 + y2 – 1<0, hay là x2 + y2 <1. ĐPCM.
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Lời giải:
Ta có: xy + 6x + 2008y + 12045= 0
x(y + 6) +2008(y + 6) –3 =0
x + 2008)(y + 6) = 3

Kết luận: Nghiệm của phương trình:
(x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–2009; –9), (–2011; –7)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 3
Lời giải:
Ta có: (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2 =
=(ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2) (1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số thực dương, ta có:
ab3 + ab3 + bc3 + ca3 + ca3 + ca3 + ca3 7a2bc
Hay là 2ab3 + bc3 + 4ca3 7a2bc (2)
Tương tự như vậy, ta có: 4ab3 + 2bc3 + ca3 7ab2c (3)
Và ab3 + 4bc3 + 2ca3 7abc2 (4)
Từ (2), (3), (4) cộng vế theo vế, ta suy ra: 7(ab3 + bc3 + ca3) 7(a2bc + ab2c + abc2)
ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2) 0 (5)
Từ (1) và (5) suy ra (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại (a; b; c) = (1; 1; 1)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :
Lời giải:
Đặt 3x + 4 = y. Khi đó và
Ta có P > 0 và do đó giá trị lớn nhất Pmax > 0, và ta chỉ cần xét trường hợp
Với ta có: (1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số dương, ta có:
(2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ (1) và (2) suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy Pmax = đạt đượt tại

Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đẳng thức:
(1)
Lời giải:
Xét các trường hợp sau:
a = 1. Khi đó (1)
Trường hợp này loại vì

a = 2. Khi đó (1)
(2)
Xảy ra các trường hợp:
*) b ≤