Bộ đề thi HSG môn Toán lớp 9 các Tỉnh - có đáp án

ĐỀ 28

Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị của x để
là số tự nhiên.
Câu II. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình:

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1
Câu III. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu IV. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng:


3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu IV. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng:







Họ và tên thí sinh: .......................................................................................... SBD: ...........................









PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015-2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08/12/2015
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)


Câu
Ý
Lời giải
Điểm








I
(4.0đ)
1
(0.5đ)
Điều kiện:


0.5


2
(2.0đ)




1.0

0.5
0.5


3
(1.5đ)
Với ĐK:

Ta có:

Vì
với mọi
nên

Do đó:
khi
hoặc

Mà
nên
hoặc
.
Do đó: x = 0 hoặc

Vậy
là số tự nhiên khi x = 0 hoặc






0.5

0.25

0.25

0.25

0.25










II
(4.0đ)
1
(2.0đ)

Giải phương trình:
(1)
ĐK:

Đặt

Khi đó ta được PT:

Mà a + b + 1 > 0 nên a = b.
Do đó (1)

Vậy nghiệm của PT là


0.25
0.25

0.5
0.25
0.5

0.25


2
(2.0đ)

Ta có: p2 -2q2 = 1
p2 =2q2 + 1
p lẻ.
Đặt p = 2k+1 (k
N*)
(2k+1)2 = 2q2 + 1
q2 = 2(k2+k)

q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2
p = 3 (thỏa mãn)
Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)


0.5
0.75
0.5
0.25




III
(4.0đ)

2a
(1.5đ)


Tìm được A(0;3); B(0;7)
suy ra I(0;5)




0.75
0.75


2b
(2.5đ)

Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7

x = -2
yJ = 1
J(-2;1)
Suy ra: