BDHSGToan 9, cuc hay

Một số bài Toán điển hình HSG Lớp 9
Bài 1
Chứng minh rằng : là một số nguyên
Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :

Bài 2
Cho
nhọn. Trên đường cao AD (
) điểm I sao cho
. Trên đường cao BE (
) điểm K sao cho
. minh : CI = CK

Bài 3
Cho
vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích
đạt giá trị nhỏ nhất.

LG
( 2 điểm ) Viết được
( 0,5 đ )

( 0,5 đ )

= 1 ( 1 đ )
( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có :


( 1đ )
2 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ )
Viết được CI 2 = BD.BC (1 đ )
CK 2 = CE.CA (1đ )
Chứng minh BD.BC = CE.CA (1,5 đ )
=> CI 2 = CK2 => CI = CK ( 1 đ)
Bài 3 : ( 5 điểm )
-Vẽ

Thỡ ta H , K cố định (1 đ )
Chỉ ra
( )
Do đó SMDE =

MH , MK không đổi ( vì M , H , K cố định ) ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra
.Luực ủoự c/m ủửụùc D & E laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB vaứ AC (1,5 đ )
Vậy khi D , E lần lượt là trung ủieồm cuỷa AB , AC thì SMDE nhỏ nhất ( 0,5đ )

Bài 4:
a. Tính:
A =
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a. + =
b. + = -
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
x2 + xy + y2 = 3
x - y - xy = 5
Bài 7:
Cho tam giác cân ABC; A = 900. Trên AB lấy điểm M; kẻ BD CM; BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng:
a. EB.ED = EA.EC
b. BD.BE + CA.CE = BC2.
Bài 8
a. (1 điểm).
+ Chỉ ra được vì 0
+ áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski tính được:
3D =
=
( 3D ( 3D 4 + 2
( D 0,5 đ
+ Chỉ xảy ra khi:
= ( x = (vì a > 0) 0,25 đ
Câu b: (1 điểm).
+ Tính được: + 2 (1)
+ Tườn tự ta có: 2 (2)
(3) 0,25 đ
+ Chỉ ra được các vế của các BĐT (1); (2); (3) đều dương nên nhân từng vế các bất đẳg thức (1); (2); (3) suy ra được:
abc 0,5 đ
+ Kết luận max abc = khi a = b = c 0,25 đ
Bài 8: (2 điểm).





a. (0,75 điểm).
+ Chứng minh được (ABE ~ (DCE (g.g)