Bài toán CM định lý lớn Fermat

Bài toán “Định lý lớn Fermat”
I.- Giới thiệu:
Fermat là một nhà toán học lớn ngưởi Pháp sinh ngày 17-8-1601 và mất ngày 12-1-1665.Ông còn là một nhà luật học, từ năm 1631 dến khi mất ông làm tại nghị viện của thành phố Tolous.Ông nghiên cứu khá nhiều lĩnh vực của toán học như lí thuyết số,hình học,đại số, lí thuyết xác suất. Phần lớn mhững phát minh toán học của ông được biết đến do trao đổi thư từ với Pascan,Đề-các,Valixơ v.v....
Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông".
Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người phải tự tử và có cả sự lường gạt... Và cuối cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh 1953) sau 7 năm làm việc trong cô độc và 1 năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.
II.- Bài toán khó bất hủ
Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.
Xét phương trình Pythagore:


Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng:


và


Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này:


Ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay không? Ông khẳng định là không. Thực ra, ông khẳng định điều đó cho họ phương trình tổng quát:


trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.
Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ:
"Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp."!!



Nguyên văn bản viết tay của Pierre de Fermat ngày 4/3 1660, hiện lưu giữ tại Departmental Archives of Haute-Garonne, Toulouse



Bên phải là phần lề giấy nổi tiếng của Fermat, nơi theo ông, không đủ viết chứng minh định lý đầy đủ vào


III.- Bàn luận

Năm 1908 một người Đức rất yêu môn toán tên là Vonfken đã treo giai thưởng 100 000 DM cho người nào chứng minh được định lí lớn Fermat. Từ đó hàng trăm hàng nghìn người đã tìm mọi cách để chứng minh gây nên một phong trào trong các hội khoa học, trên các báo chí về vấ đề này. Ở Hội toán học Gơtinhghen trong ba năm đầu sau khi Vonfken tuyên bố về giải thưởng đã có trên một nghìn lời giải.

Cái khó của dịnh lí này là nêu lên một điều không thể có, mà trong toán học việc chứng minh một điều có thể có dễ hơn là chứng minh một điều không thể có. Thật thế muốn chứng minh điều không thể xảy ra không phải chỉ xác lập một số trường hợp riêng nào đó (dù số trường hợp này là lớn) nhưng phải với tất cả trường hợp có thể hình dung ra được.Vì vậy điều tốt nhất là phải tìm được một cách chứng minh tổng quát đúng cho mọi trường hợp mà không loại trừ trường hợp nào. Vì vậy ta hãy tưởng tượng việc xác lập định lí lớn Fermat như sau: với số mũ n>2 ta lần thử bộ ba số nguyên (x,y,z) để chắc chắn rằng x mũ n + y mũ n không bằng z mũ n.Cũng cần nói thêm việc này nếu giao cho máy vi tính mạnh nhất thế giới thì cũng không bao giờ xong được. Lí do hết sức đơn giản : có vô số số mũ n và với mỗi số mũ đó lại có vô số bộ ba số (x,y,z) mà ta cần phải thử. Nhưng dù sao máy tính vẫn có ích. Ba thập kỉ vừa rồi, dùng máy vi tính người ta đã chứng minh được định lí lớn Fermat đúng với tất cả số mũ n<125000. Nói cách khác từ nay trở đi ta biết rằng : Với 2