Bài toán CM 1+1=2

Bài toán chứng minh: 1+1=2

Giới thiệu: Nếu nhìn dưới góc độ toán sơ cấp thì 1+1=2 là điều hiển nhiên, Trước đây 1+1=2 được coi như là tiên đề. Sau đó các nhà toán học lại chứng minh nó bằng những tiên đề của số học. Đây là 1 vấn đề hoàn toàn nghiêm túc và thú vị. Các nhà toán học cũng phải vùi đầu suy nghĩ mới ra.
Học tới lý thuyết tập hợp, ánh xạ, GV & HS cũng cần biết, cần suy nghĩ như thế để mở rộng tầm mắt.

I/ Một cách nhìn vấn đề rất trực quan: Chúng ta nhìn theo kiểu này, Khi làm phép +1 chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n.
II/ Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau: Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x 2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y 3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 ) 4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U , mọi x thuộc U. Lúc đó U = N Ta lưu ý rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ từ
N x N ( N III/ Chứng minh ứng dụng
Với các định nghĩa trên, ta có thể xác định 2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) ......... Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1) Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, .... Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có. Lưu ý: Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếu tồn tại tập M thỏa các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M)