Bài toán "chia ba một góc"

Bài toán “ chia ba một góc”

Câu chuyện “Chia một góc cho sẵn bất kì thành 3 phần bằng nhau” đã đi vào lich sử toán học. Đây là một trong 3 bài toán trong hình học phẳng Euclide “không giải được” từ thời các nhà toán học cổ Hy lạp [1Nhiều nhà toán học và người say mê toán đã mất nhiều công sức tìm cách chia 3 một góc cho trước, nhưng đều thất bại. Cho đến khi người ta chứng minh được rằng: bài toán không giải được trong trường hợp “góc bất kl” với phương tiện chỉ dùng thước thẳng ( không chia độ) và com pa thường thì các cố gắng tương tự mới chấm rứt
Nêu đầy đủ thì bài toán phải nói rõ ra là “Không chia ba được một góc bất kì bằng compa và thước thẳng không chia độ” mới đúng. Thước thẳng không chia độ là thước chỉ dùng để gạch đường thẳng nối 2 điểm hay qua một điểm và thẳng góc với một đường thẳng khác mà thôi.
Tài liệu này giới thiệu vài bài liên quan việc “Chia ba một góc”
1/ Chia 3 một số góc đặc biệt ( góc bẹt, góc vuông, góc 60o, góc 135 o …)
Ta biết rằng, không phải tất cả mọi góc đều không thể chia 3 đuợc bằng phép dựng chỉ dùng compas và thước thẳng. Thí dụ:
1.1/ chia ba góc bẹt : Chỉ cần dựng 1 ( đều, ta có 1 góc 60 o = 180 o /3
1.2/ chia ba góc vuông
Cách thứ nhất


Cách thứ hai
Trên một cạnh của góc vuông A lấy đoạn AB. Lấy B làm tâm, vẽ 1 cung tròn bán kính
BC = 2 AB (( vuôngABC có
C =30o
Cách thứ ba:
Dựng 1

( đều ABC ( có
A = 60o
Dựng dA ( AC
(
dAB = 30o
1.3 / Chia ba một góc 60o
Bài toán này phức tạp hơn, vì 1/3 của góc 60o là 20o, nhưng chia một góc 60o làm 3 phần không thể thực hiện được chỉ bằng compa và thước thẳng.  Lý do, vì chia một góc 60o làm 3 phần tương đương với giải một phương trình bậc 3 có nghiệm số không phải là số hữu tỉ. 
Điều đó có thể thấy được qua một hệ thức lượng giác là cos(3θ) = 4cos3(θ) − 3cos(θ).
Nếu 3θ = 60o thì  cos(3θ) = 1/2. Chia góc 3θ = 60o  làm 3 phần tương đương với tìm một góc θ  thoả phương trình:
            4cos3(θ) − 3cos(θ) = 1/2
hay      8x3  – 6x – 1 = 0     nếu đặt  x =  cos(θ) hay, đặt  y = 2x                         y3 – 3y – 1 = 0            (1)
Phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (1) có một nghiệm hửu tỉ  r/s với  r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay y = r/s vào (1) và rút gọn:
= >  s3 = r(r2 -3s2)  chia đúng cho r   => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1. = >  r3 = s2(s + 3r) chia đúng co s2   => s và r có thừa số chung, trừ khi  s = ± 1. 
Vì  r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi r = ± 1 và s = ± 1 và  nghiệm số hửu tỉ của phương trình (1) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cà +1 và -1 dều không nghiệm đúng (1).
Tóm lại: phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20o từ một góc 60o cho sẵn bằng compa và thước thẳng.
2.- Chia ba một góc bằng compa và thước thẳng có chia độ
Chia ba một góc cho sẵn bất kì không thể dựng được với compa và thước thẳng. Nhưng, với một thước thẳng có chia độ, - Thước được hiểu là có thể dùng để đo khoảng cách của 2 điểm, thì bài toán chia ba một góc cho sẵn có thể giải được như dưới đây.


Ta có:  BA = BC = CD => Hai tam giác BAC và BCD cân lần lượt ở B và C. Gọi b là 2 góc đáy của tam giác BCD và c là 2 góc đáy của tam giác BAC.
=>  Góc CBD = CDB = b  và  Góc BCA = BAC = c =>  Góc BCA = CBD + CDB  => c = 2b      (Góc ngoài tam giác)
Gọi d là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC =>  Góc ABC = d = 180o – 2c = 180o – 4b   vì  c = 2b
Tổng số các góc ở đỉnh B bằng