Bài toán câu cá của Đi-rac

Bài toán 3 chàng câu cá của Paul Dirac
I./ Giới thiệu về Bài toán gốc

Nhiều bài toán phổ thông rồi sẽ quên đi. Nhưng bài toán 3 chàng đi câu này sẽ còn được nhắc tới vì nó gắn liền với tên tuổi của một trong số ít những nhà Vật lý – Toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XX: Paul Dirac. Bài toán ấy như sau : ” Ba người đi câu được một số cá. Trời tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy đến bờ sông, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt1 con xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 2 thức dậy, đến bên bờ sông, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá, vứt 1 xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 3 thức dậy, đến bên đống cá, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về. Cho biết họ là 3 chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá tất cả?” Người ta kể rằng bài toán câu cá trên đây là một bài toán dân gian đã ra trong một kỳ thi HSG Toán nước Anh. Một cậu bé dự thi lúc bấy giờ, tên là Paul Dirac, đã cho một lời giải ngộ nghĩnh bất ngờ. 1, “Nghiệm Dirac” của bài toán: Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trên bờ sông, ta tính được kết quả: x=1/8(27n + 38) với n=8/3m – 2 và m thuộc B(3) Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất: m=0. Từ đó có đáp số: n = -2 và x = -2 Số cá còn lại trên bờ, sau khi cả 3 anh chàng đã lấy phần mình mang về nhà, đúng bằng số cá cả 3 câu được: x = n = -2 Vậy hiểu kết quả này như thế nào? Cậu bé giải thích: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!!! Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!!! Dĩ nhiên trên đây chỉ là một lời giải ngộ nghĩnh cho một bài toán cũng ngộ nghĩnh!
Nhưng từ bài toán này giúp GV & HS hiểu sâu thêm về số âm và số dương 2, Số âm và số dương trong bài toán: Cùng một giá trị tuyệt đối thì số Âm và dương đối xứng nhau. Vậy ta thử đổi các nghiệm âm của Dirac ra dương: x = n = +2 và xem thử chúng có ý nghĩa nào không? Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy có 2 con cá, không chia hết cho 3 bèn câu thêm 1 con từ bờ sông lên để số cá trở thành (+3); anh ta lấy 1/3 tức là (+1) con, để lại (+2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (+1) con cá về nhà. Cũng công bằng vì mỗi người đều được nhận phần cá như nhau! Như thế, chỉ cần đổi nghiệm Dirac âm ra dương ta sẽ có một lời giải nghiêm túc cho một đề Toán cũng ìnghiêm túc. đừng vứt cá trở lại xuống sông mà hãy câu thêm cá từ dưới sông lên! Vậy, đứng trước một bài toán, hãy cố gắng nhìn hết các khía cạnh, tìm cho ra hết các nghiệm, dù rằng sau đó có cái phải loại đi vì tính không phù hợp của nó. II/, Hiểu thêm về Nhà toán học Paul Dirac (1902 – 1984): Paul Adrien Maurice Dirac (8 tháng 8 năm 1902 - 20 tháng 10 năm 1984) là một nhà vật lý lý thuyết người Anh. Ông từng giữ chức Giáo sư Lucas về Toán học tại Đại học Cambridge. Trong 10 năm cuối đời ông làm việc tại Đại học Florida. Một trong những khám phá quan trọng của ông là phương trình Dirac. Phương trình này miêu tả dáng điệu của các fermion, từ đó dẫn đến tiên đoán về sự tồn tại của phản vật chất. Ông cùng Erwin Schrödinger đã được nhận giải Nobel vật lý năm 1933.

Năm, 1926, lúc 24 tuổi, trong khi lập và giải phương trình chuyển động