Bài tập tam giác và tứ giác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC.
LÝ THUYẾT.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, HB = c’, HC = b’. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+) a2 = b2 + c2 (Định lý Pythagore); +) b2 = ab’; c2 = ac’;
+) h2 = b’.c’ +) ah = bc ;
+)

+) MA = MB = MC = BC/2, với AM là đường trung tuyến.
+) Nếu góc C bằng 300 thì BC = 2AB.
+) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh, bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
Một số công thức trong tam giác thường:
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác. Khi đó ta có :
+)
(công thức đường trung tuyến).
+)
 (Công thức đường phân giác);
+)
(Định lý Cosin trong tam giác);
+)
, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Định lý sin trong tam giác).
Bất đẳng thức Erdös – Mordell
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác (M không nằm trên biên cua tam giác). Gọi da, db, dc theo thứ tự là khoảng cách từ M ( BC, CB, AB. Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
MA+MB+MC ( 2(da+db+dc)
Đẳng thức xảy ra ( (ABC đều và M là tâm của tam giác.
Một số công thức tính diện tích tam giác:
Cho tam giác ABC, AB = c, AC = b, BC = a; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác, ta có:
+)
;
=
;
+)
với p là nửa chu vi.
+)
.
+) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì
.
BÀI TẬP.
Dạng bài tập liên quan đến tính toán (Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng…)
Bài 1. Cho tam giác ABC có
. Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc A bằng 600. Chứng minh rằng
.
Bài 3. a. Chứng minh công thức đường trung tuyến trong tam giác.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A, biết AB = 3cm;
. Tính BD.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Biết AD = 10, AE = 15. Tính BC.
Bài 4. a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm; (AMC=1350. Tính MC.
b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA:MB:MC=2:3:1. Tính số đo góc AMC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD, hai đường phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại I, hai đường phân giác góc B và C cắt nhau tại J. Gọi H là trung điểm của AD, K là trung điểm của BC. Cho biết AB = AD = 10cm, BC = 12cm, CD = 20cm. Tính IH, IJ, JK.
Bài 6. Cho hình thang cân ABCD có góc C = 600, đáy nhỏ AB bằng cạnh bên. Biết chu vi của hình thang bằng 20cm. a. Tính các cạnh của hình thang; b. Tính chiều cao của hình thang.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 300. E là trung điểm của AB. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC tại F.
Tứ giác AEFC là hình gì ? b. Tính độ dài các cạnh của tứ giác đó, biết AB = 3cm
Bài 8. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B; AB = BC = AD/2 = 3cm.
Tính các góc của hình thang; b. Chứng minh rằng AC vuông góc với CD;
c. Tính chu vi của hình thang.
Bài 9. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), AB = 3cm; CD = 6cm; AD = 15cm. Vẽ hai đường cao AH và BK. Tính DH, DK và AH.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, BC = 13cm. Vẽ đường trung tuyến AM. I là trung điểm của AM. Tia BI cắt AC tại D. Tính BI.