BÀI SỐ HỌC THI GVG KHTN 2017

Bài toán: (Thi GVG KHTN 2016-2017)
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn

Hướng dẫn giải:
Ta có:

Trước hết ta chứng minh bài toán bổ đề sau: Với
thì

Thật vậy: Với

Áp dụng bổ đề trên, ta thấy không thể xảy ra trường hợp cả 4 số
đều lớn hơn 2. Khi đó, hệ phương trình không xảy ra vì:


Do đó trong 4 số
tồn tại một số không vượt quá 2.
Do vai trò của a và b; c và d như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử số đó là

Giả sử
. Ta xét 3 trường hợp sau:
*) Xét
(Do
)
*) Xét


Khi đó c = 6
*) Xét





Vậy hệ phương trình có 10 nghiệm là: