Bại ngoc linh

Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 (2 điểm): Rút gọn biểu thức: 

Bài 2 (5 điểm):
[*] Giải phương trình 

[*] Cho các số thực 
 thay đổi và thoả mãn 
. Tìm 
 khi 
 lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (5 điểm):
[*] Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.
[*] Cho các số thực không âm 
 thay đổi và thoả mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 

Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác 
 nội tiếp đường tròn 
 đường kính 
.
[*] Vẽ về phía ngoài tam giác 
 nửa đường tròn 
 đường kính 
 và nửa đường tròn 
 đường kính 
. Đường thẳng qua 
 cắt hai nửa đường tròn 
 lần lượt tại các điểm 
 (
 khác 
 và 
 khác 
).  Tính các góc của tam giác 
 khi diện tích tam giác 
 bằng 3 lần diện tích tam giác 
.
[*] Cho 
 và điểm 
 thuộc cạnh 
 sao cho 
. Gọi điểm 
 là hình chiếu của điểm 
 trên đường thẳng 
 và điểm 
 là hình chiếu của điểm 
 trên đường thẳng 
. So sánh 
và 
với 
.
Bài 5 (2 điểm): Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với 
. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.
[*] Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng?
[*] Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương?