Bài giài Đồng nai chuyên 17-18

BÀI GIẢI TUYỂN 10 CHUYÊN ĐỒNG NAI 2017-2018
Bài 1:(1,75đ) Cho biểu thức :

1)Rút gọn P
2)Tìm tất cả các số tự nhiên a để P có giá trị nguyên




1.2)
thỏa điều kiện


Bài 2 : (2đ)
2.1)Giải phương trình :

2.2)Giải hệ phương trình :




Đặt
. PT thành : (t – 1)(t + 1) = 24






Bài 3: (1 đ) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 5 = 0
Lập PT bậc hai có hai nghiệm là 2x1 + x2 và x1 + 2x2.

PT: x2 – x – 5 = 0 có a và c trái dấu nên luôn tồn tại các nghiệm x1 ; x2
Theo Vi-ét. Ta có : x1 + x2 = 1 ; x1 . x2 = -5
Đặt: *S = (2x1 + x2) + (x1 + 2x2) = 3(x1 + x2) = 3
P = (2x1 + x2).(x1 + 2x2) = 2[(x1)2 + (x2)2] + 5 x1 . x2 = -3
( 2x1 + x2 và x1 + 2x2 là hai nghiêm của phương trình : x2 – Sx + P = 0
Hay x2 - 3x – 3 = 0

Bài 4: (1,5đ)
4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên :

4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c . Ch/m rằng:





Để (1) có nghiệm thì



4.2)Không mất tính tổng quát , giả sử :

Ta ch/m:
(1)

(2)
Do
nên (2) luôn đúng
Vậy

Tương tự :


Suy ra :


Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng : Tồn tại ít nhất một điểm M có toạ độ nguyên nằm trong ngũ giác hoặc trên các cạnh của ngũ giác đó ( không tính các đỉnh A,B,C,D,E)

Lấy 5 số nguyên lần lượt chia cho 2 thì có ít nhất 3 số có cùng số dư
Lấy 3 số nguyên lần lượt chia cho 2 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư
(Trong 5 sô nguyên đó có ít nhất 3 số có cùng tính chẵn, lẻ
(Trong 5 điểm A,B,C,D,E thì có ít nhất 3 điểm có hoành độ cùng tính chẵn, lẻ
(trong 3 điểm có cùng tính chẵn, lẻ nói trên thì có ít nhất hai điểm có tung độ cùng tính chẵn , lẻ
Khi đó: Tồn tại ít nhất 2 trong 5 điểm A,B,C,D,E có hoành độ cùng tính chẵn, lẻ và tung độ cùng tính chẵn lẽ
(Tọa độ trung điểm M của hai điểm này có tọa độ nguyên
Suy ra :
*)Nếu hai điểm xác định như trên là hai đỉnh kề nhau của ngũ giác thì M nằm trên một cạnh của ngũ giác
*) Nếu hai điểm xác định như trên không là hai đỉnh kề nhau của ngũ giác thì M nằm trong ngũ giác

Bài 6 : cho
ABC nhọn . Đường trò (O) đường kính BC cắt AB, AC thứ tự tại M và N. Tia phân giác trong của các góc : BAC , MON cắt nhau ở P
6.1)Chứng minh :
và tứ giác AMPN nội tiếp
6.2)Gọi Q là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP & CNP.
Ch/m: ba điểm B, Q, C thẳng hàng
6.3)Gọi O1, O2, O3 thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác: AMN, BMP, CNP.
Ch/m: 4 điểm O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn.




6.1) a)Chứng minh:

Dễ thấy tứ giác BMNC nội tiếp


OBM cân tại O nên




b)Chứng minh : tg AMPN nội tiếp:
Gọi H, K thứ tự là hình chiếu vuông góc của P trên AB, AC
Vì P nằm trên tia phân giác của góc A nên PH = PK
Vì
OPM =
OPN (cgc)
PM = PN


Tg AMPN có một góc trong tại đỉnh M bằng góc ngoài tại đỉnh đối diên N nên nội tiếp được đường tròn

6.2)Ta có:
- tg BMQN nội tiếp

- tg AMPN nội tiếp



Mà tứ giác CNPQ nội tiếp nên :

Vậy 3 điểm B, Q, C