Bài giải Đồng Nai 2018-2019

BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN-TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019


Bài 1: (4,5 điểm)
1.1)Cho HPT:
;m là tham số thực
Tìm m để P = x2 + 8y đạt GTNN?


Vì
nên HPT luôn có nghiệm với mọi m



 1.2)Giải HPT
;x, y là các số thực


Đặt t = -y. HPT thành

Đặt S = x + t ; P = x.t;
HPT thành :


(2)
(S + 1)(S2- S - 2) = 0 (nhẩm nghiệm bằng hooc-ne)

S = -1; S = -2

S = -1
P = 0 ( thỏa
)
X, t là hai nghiệm PT: u2 + u = 0
u = 0; u = -1
(x;t) = {(0;-1), (-1;0)}
(x;y) = {(0;1), (-1;0)}

S = -2
P = 3/2 (không thỏa
)
Vậy hệ PT cóa hai nghiệm là (0;1) và (-1;0)

Bài 2: (4,5 điểm)
2.1) Giải PT:



X = 0 không là nghiệm. Chia hai vế PT cho x2.


Đặt

PT thành t2 – 9t + 18 = 0
t = 3; t = 6

t = 3


t = 6

Vậy



2.2) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng :



Ta có :

(1)
Tương tự, ta cũng có:


Cộng (1), (2), (3) vế theo vế , ta được đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra


Bài 3 :
3.1) Cho a,b,c là ba số nguyên khác 0 thỏa
. Chứng minh : abc




Nếu b,c cùng chẵn thì abc

Nếu b, c cùng lẻ thì b.c lẻ và b + c chẵn
a(b + c) chẵn ( vô lí)
Nếu b, c khác tính chẵn lẻ thì b.c chẵn và b + c lẻ
a chẵn ( abc



3.2) Tìm các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999


Ta có : 999 = 33.37
YCBT
Tìm các số nguyên dương không vượt quá 1000 không là bội của 3 và 37
Từ 1 đến 1000. Có:
(999 – 3 )3 + 1 = 333 số là bội của 3
(999 – 37)37 + 1 = 27 số là bội của 37
(999 – 111)111 + 1 = 9 số là bội của 111 ( 111 = 3. 37)

Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999 là:
1000-(333 + 27 - 9) = 649



Bài 4 : (2 điểm) 4.1) Tính A + B . Biết:










Bài 5: (4,5 điểm)
Cho
ABC nhọn ngoại tiếp đường tròn (I). D, E thứ tự là hai tiếp điểm của AB, AC với (I). M, N thứ tự là trung điểm của BC, CA
Chứng minh : 2AD = AB + AC – BC
Chứng minh : BI, DE, MN đồng qui.





1)Gọi F là hình chiếu của I trên BC . Ta có : AD = BD, BF = CF , CE = AE
2AD = AD + AE = AB – BD + AC – CE = AB + AC – (BF + CF) = AB +AC – BC


2)Gọi K là giao điểm của DE và BI. Ta có :



Tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn


M là tâm đường tròn ngoại tiếp
KBC

Mà MN//AB ( đường trung bình)

K, N, N thẳng hàng ( tiên đề Ơ-clit)
BI, DE, MN đồng qui tại K.




Bài giải mang tính chủ quan nên không khỏi có những sai sót nhất định, mong bạn đọc góp ý thêm