Abc gà vàng

Bài 1: Cho (O; R) có đường kính AB. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho AC = R.
a) Tính BC theo R và các góc của ΔABC.
Gọi M là trung điểm của OA. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M.
Chứng minh: tứ giác ACOD là hình thoi.
Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AB tại E.
Chứng minh: ED là tiếp tuyến của (O).
Hai đường thẳng EC và DO cắt nhau tại F. Chứng minh: C là trung điểm của EF.



b)▪ Xét ΔAMD và ΔOMD có:
MA = MO (M trung điểm OA)
MD: chung
ΔAMD = ΔOMD (c.g.c)
▪ Xét tứ giác ACOD có:
OC = OD = AC = R (gt)
OD = AD (cmt)
OC = OD = AC = AD
Tứ giác ACOD là hình thoi.

▪ Vì ACOD là hình thoi
OA là phân giác
▪ Xét ΔECO và ΔEDO có:
OC = OD (= R)
OE: chung
ΔECO = ΔEDO (c.g.c)
hay ED là tiếp tuyến của (O) (vì D thuộc (O))



▪ ΔOAC đều (vì OA = OC = AC = R) nên:

▪ Vì EC, ED là hai tiếp tuyến (O) nên:

=>

▪ ΔOCE = ΔOCF (g.c.g)
CE = CF (2 cạnh tương ứng) hay C là trung điểm EF
Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Cho biết BH = 9cm, HC = 16cm.
Tính AB, AH.
Gọi M là trung điểm của BC. Đường vuông góc với BC tại M cắt đường thẳng AC và BA theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: BH.BF = MB.AB.
Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh: IA là bán kính của đường tròn tâm I bán kính IF.
Chứng minh: MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IF.


AH // FM (cùng vuông góc BC)
(Talet) hay BH.BF = BM.BA
c)


Vì ΔAEF vuông tại A, AI là đường trung tuyến nên:
(vì I là trung điểm EF)
IA bán kính đường tròn tâm I, bán kính IF ngoại tiếp ΔAEF
d) Vì ΔABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên:
(vì M là trung điểm BC)
ΔMAC cân tại M (vì MA = MC: do trên) (1)
ΔIAE cân tại I (vì IA = IE = R) (2)
Mà: (3) (2 góc đối đỉnh)
Từ (1), (2) và (3) (2 góc phụ nhau)
Hay và A thuộc (I, IF)
Vậy MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IF
Bài 3: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Một điểm M nằm trên đường tròn ( M khác A, B). Gọi N là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O).
1. Nếu biết góc ABE bằng 60o và R = 3cm. Hãy tìm độ dài cảu đoạn thẳng EA và EB.
2. Chứng minh

3. Chứng minh EN là tiếp tuyến của đường tròn (B, 2R).



1. Tính độ dài EA, EB
Xét
vuông:
+ Tính EB =12cm
+ Tính EA =

cm
2. Chứng minh

+ Chứng minh

+

3. Chứng minh EN là tiếp tuyến của đường tròn (B,2R)
Chỉ ra:
+

+

+ BN là bán kính của đường tròn (B,2R)
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
1) Chứng minh AH

BC .
2) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Chứng minh MN. OE = 2ME. MO
4) Giả sử AH = BC. Tính tgBAC.
1) Chứng minh AH

BC .
ΔBMC và ΔBNC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC
Suy ra
. Do đó:
,
,
Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H
Do đó H là trực tâm tam giác. Vậy AH
BC.
2)