Aaaaa bdt

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Gabriel Dospinescu, Trần Nam Dũng

Cùng với bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, BĐT Shur, Jensen và Holder, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một kết quả kinh điển, có nhiều ứng dụng. Với cố gắng đưa ra một số khía cạnh của bất đẳng thức này, chúng tôi sẽ tập trung vào sự đa dạng của các bài toán có thể giải bằng BĐT này. Câu hỏi quan trọng nhất ở đây là: làm sao ta nhận biết được một bất đẳng thức có thể giải bằng phương pháp này? Rất khó có thể nói một cách rõ ràng, nhưng có lẽ là nên nghĩ đến BĐT Cauchy-Schwarz khi ta thấy tổng của các căn thức, tổng của các bình phương hay đặc biệt là khi ta có các biểu thức chứa căn.
Đầu tiên, ta sẽ xét một số bài toán mà trong lời giải áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ở dạng kinh điển:

.
Khó khăn lớn nhất là chọn
và
. Chúng ta sẽ thấy rằng trong một vài trường hợp, điều này là hiển nhiên, trong vài trường hợp khác lại không đơn giản chút nào. Chúng ta giải một số bài toán:
Ví dụ 1
Cho
thoả mãn điều kiện
. Chứng minh rằng:

.
Đề kiểm tra chọn ĐT Rumani, 1996
Lời giải:
Ngay cả một người chưa có nhiều kinh nghiệm cũng có thể áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng sao:

.
Sau ví dụ, đơn giản này, ta sẽ xem xét một bài toán khó hơn:
Ví dụ 2
Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện
, thì bất đẳng thức sau đây đúng:

.
Đề đề nghị IMO, Ba Lan
Lời giải:
Tại sao ta lại nghĩ đến BĐT Cauchy-Schwarz? Nguyên nhân rất rõ ràng: BĐT cần chứng minh có dạng
và ta cần phải đánh giá thông qua tổng các bình phương:
. Tuy nhiên, có rất nhiều cách để áp dụng Cauchy-Schwarz. Chọn lựa
không mấy thành công. Vì thế có thể sẽ tốt hơn nếu coi y+z như một số hạng. Nếu chúng ta để ý rằng bất đẳng thức có dầu bằng chẳng hạn khi x=1, y=1 và z=0, chọn lựa
trở nên khá tự nhiên. Như thế ta cần chứng minh rằng
, điều này hiển nhiên vì
.
Một ứng dụng không tầm thường khác của BĐT Cauchy-Schwarz là bài toán sau.
Ví dụ 3
Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện
. Chứng minh rằng:

.
Lời giải:
Trong ví dụ này, sự xuất hiện căn thức ở vế phải cho chúng ta dấu hiệu rằng BĐT Cauchy-Schwarz có thể có hiệu quả. Sẽ rất tuyệt nếu ta có
, nhưng điều này ở đây không hằng đúng. Cũng có thể thấy xyz không đóng vai trò quan trọng trong bài toán này, vì vậy, tốt nhất là loại bỏ nó. Vì vậy, ta viết
và bây giờ thì phép thế a=yzu, b=zxv và c=xyw trở nên tự nhiên.
Như vậy, ta cần chứng minh rằng
với u+v+w=1. Bây giờ thì ta có thể thấy dạng của BĐT Cauchy-Schwarz:

và biểu thức cuối cùng nhỏ hơn
vì u+v+w=1.
Ta thấy rằng ta có thể áp dụng Cauchy-Schwarz khi ta có các tổng. Thế với tích số thì sao? Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ rằng trong trường hợp này, ta cần có 1 chút sáng tạo:
Ví dụ 4
Cho n>1 là số nguyên và
là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

.
Cuộc thi CH Séc-Slovakia-Ba Lan, 2001
Lời giải:
Ta sẽ thử áp dụng Cauchy-Schwarz cho mỗi thừa số có mặt ở vế phải. Một cách tự nhiên, ta viết
, vì ta cần
, biểu thức có mặt ở vế trái. Tương tự, ta có thể viết
,…,
.
Nhân các bất đẳng thức này với nhau, ta được

(*).
Nhưng đây chưa phải là điều ta cần. Như thế Cauchy không có hiệu quả cho BĐT này. Không hẳn thế! Ta lại áp dụng lý luận này một lần nữa để có that
(**).
Như thế nếu
, (*) sẽ cho chúng ta kết quả, còn nếu ngược lại thì (**) sẽ kết thúc lời giải của chúng ta.
Bây giờ ta sẽ xem xét những bài toán khó hơn.
Ví dụ 5
Cho x,y>0 sao cho
. Chứng minh rằng
.
Nga, 1999
Lời giải:
Ý tưởng ở đây là chặn
bởi
với A nào đó. Điều này là có lý nếu nhìn vào các luỹ thừa. Ta