80 bAi toAn hinh nAng cao 9

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
( CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
( CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800


Mà ( CEH và ( CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ( AC => (BEC = 900.
CF là đường cao => CF ( AB => (BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ( AEH = ( ADC = 900 ; (A là góc chung
=> ( AEH ( (ADC =>
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ( BEC = ( ADC = 900 ; (C là góc chung
=> ( BEC ( (ADC =>
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có (C1 = (A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
(C2 = (A1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> (C1 = ( C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ( HM => ( CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
=> (C1 = (E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
(C1 = (E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
(E1 = (E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED =
BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
( CEH = 900 (Vì BE là đường cao)

 ( CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> ( CEH + ( CDH = 1800
Mà ( CEH và ( CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ( AC => (BEA = 900.
AD là đường cao => AD ( BC => (BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có (BEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => (E1 = (A1 (1).
Theo trên DE =
BC => tam giác DBE cân tại D => (E3 = (B1 (2)
Mà (B1 = (A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => (E1 = (E3 => (E1 + (E2 = (E2 + (E3
Mà (E1 + (E2 = (BEA = 900 => (E2 + (E3 = 900 = (OED