5 đề dành cho HSG (sưu tầm)

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

Đề 1
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol
.
Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
.
Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm
và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phơng trình:



Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn.
Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.
-------HẾT--------























Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm

1.


8,0


1.1
(2,0 điểm)




Phơng trình đờng thẳng d1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d1: y = ax - 2a+1.
0,50



 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là:


0.50



Để d1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:



2,0



Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:


0,50


1.2
(4,0 điểm)




Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:


0,50



Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:


0,50



Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:





1,5




Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:


1,0



Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol

, giới hạn bởi
.
0,50


1.3
(2,0 điểm)




Gọi
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Phơng trình đờng thẳng d` qua M0 và có hệ số góc k là:
, đờng thẳng này đi qua M0 nên
, suy ra pt của d`:
.
0,50



Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:

(**)
0,50



Để từ M0 có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P