5 bài toán hay -Ta let

NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8.
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L là điểm chia đường chéo
AC theo tỉ số
. Chứng minh LK
LD.
BÀI GIẢI
Kẻ LM
AB và LN
AD.
Tứ giác AMLN có
nên nó là hình chữ nhật.
AC là phân giác của
nên AL là phân giác của
.
Vậy tứ giác AMLN là hình vuông.
Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND.
LM // BC suy ra
. Do đó :
hay AB = 4MB
Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN
Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra :
nhưng
nên

Vậy LK
LD (đpcm).
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q.
Chứng minh MN là tia phân giác của góc
.
BÀI GIẢI
Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của
PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC.
Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN
AD
Ta cần chứng minh KN = NH
NK // ME

(hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK )
DN // BE

(hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD )
Do đó:
(1)
Chứng minh tương tự ta được:
( cùng bằng tỉ số (2)
Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH.
Tam giác HMK có NH = NK và MN
HK nên ΔHMK cân tại M.
Do đó MN là tia phân giác của
(đpcm)
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối
Của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC.
Chứng minh rằng :

BÀI GIẢI
Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là
giao điểm của PQ và BC.

(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM)

(hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE)


Mà AM = MD ( M là trung điểm AD)
Nên
. Do đó:
(1)
Lập luân tương tự:
(2)

(3)
Từ (1); (2) ; (3) suy ra:

Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN
AD
ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N.
Do đó NM là phân giác
. Vậy
(đpcm)
Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao
điểm của QN và DC.
AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC,
và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác
AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON.
ΔQPC có MO // PC nên

ΔQCE có NO // EC nên

Do đó:
. Mà OM = ON nên PC = EC.
ΔNPE có
nên cân ở N

Mặt khác
(do MN // CD)
Do đó :
(đpcm)
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng
với C qua E. Đường thẳng d1 đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d2
đi qua F song song với AB cắt AD tại K.
Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng.
BÀI GIẢI
Gọi O là giao điểm của AC và BD
L là giao điểm của d1 và AC
Q là giao điểm của AF và KI
T là giao điểm của AF và BC
Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT
Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD
Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD)
Do FI // BT và IL // BC ta suy ra:
cùng bằng , nhưng BT =