2017-2018 vào 10 Toán SPHN(v2

Bộ giáo dục đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc


Đề chính thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017
Môn thi: Toán
( Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian : 150 phút
Câu 1. (1.5 điểm )
Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số


Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình :


Câu 3. (3.0 điểm )
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
có đúng một số không phải là số nguyên.
Câu 4. (3điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.
Chứng minh

2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.
3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (1.0 điểm )













--------------Hết-------------
Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Vòng 2
http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục...
Câu 1. (1.5 điểm )
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì


Mặt khác
Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.

Câu 2. (1.5 điểm )Giải phương trình

ĐKXĐ





Câu 3. (3.0 điểm )
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
có đúng một số không phải là số nguyên.
Hướng dẫn
1.Giả sử
trong đó
là các số nguyên tố

Tượng tự
trong đó
là các số nguyên tố

Ta có a,d >1
Vì

Chứng minh tương tự
từ giả thiết

Hoặc


Vậy

2.Nếu
nguyên ta có
suy ra
đều không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số
không là số nguyên khi đó

Đặt


Thử lại đúng vậy


Câu 4. (3điểm )



Ta có IM = IA và KM = KC
IK là đường trung bình

.
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R
OM là trung trực của AB



. Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta có cho các tam giác vuông
ta có
suy ra
( vì IM = IA)
Vậy :

Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC Suyra





Ta lại có KQ.KP = KD.KA


Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.
Gọi L là trung điểm của KD ta có
vì

AE//KM
Mặt khác ta có
nội tiếp
Suy ra
(vì
) hay
nội tiếp
cùng thuộc một đường tròn


Câu 5. (1.0 điểm )


Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm A ( tương tự B,C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E điền cặp 8,9
Điều này vô lí .Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G,K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8 ,F điền số 9 ( hoặc ngược lại).Giả sử tại A