Luan an

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Chúng ta đã biết rằng một tam giác hoàn toàn được xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.
Như vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và ứng dụng của chúng.

A. Lý thuyết
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đường cao AH = ha và các đường trung tuyến AM = ma, BN = mb, CP = mc
1. Định lí cosin: A


c ha ma b
* Hệ quả: P N
1) cos A = B H a M C
cos B = ( Hình 1)
cos C =
2) Trong ABC
A nhọn
A tù
3) Định lý Pitago là trường hợp đặc biệt của định lý côsin, khi A= 900

2. Định lí sin:
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)







3. Định lý côtang

4. Tổng bình phương hai cạnh và công thức đường trung tuyến của tam giác:
1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I
Với M bất kì ta có: M



A / I / B
(Hình 2)
2. Gọi ma, mb, mc lần lượt là các độ dài các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC (Hình 1). Ta có:




5. Các công thức tính diện tích tam giác:

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức:
S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ;
S = với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ;
S = pr với p = a +b +c) và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC;
= (p - a)ra = (p - b)rb = (p - c)rc
S = với p = a +b +c) ( công thức Hê-rông).
6. Bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp




7. Công thức tính độ dài phân giác




* Các ví dụ:
VD 1:
Cho tam giác ABC, trung tuyến ma xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh rằng góc A nhọn khi cà chỉ khi
Giải:
Ta có: từ đó A nhọn

VD2:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

Giải:
Theo công thức trung tuyến, ta có:


Tương tự:

Từ đó :
VD3:
Cho tam giác ABC có diện tích S.
CMR:

Chứng minh:
Ta có:
Mặt khác, từ
Do đó:
Tương tự:

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

VD4:
Tính góc lớn nhất của tam giác có độ dài là 3, 5, 7.
Đáp số: A = 1200
VD5 :
Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:

Giải:
Theo giả thiết:
1)
Mặt khác:

=> a2 =