De thi MTBT 8_10

Phòng giáo dục và đào tạo
Trực Ninh
đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi
vòng ii năm học 2005 - 2006
môn toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút



Bài 1: ( 5 điểm )
Cho phân thức A =

Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Tìm x để A có giá trị bằng 4.
Bài 2: (4 điểm)
Xác định đa thức f(x) bậc 3 sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều được dư là 6 và tại x = – 1 thì đa thức nhận giá trị bằng –18.
Bài3: (4 điểm)
Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn : (a +b + c ) (
) = 1
Tính giá trị của biểu thức
M = ( a2005 + b2005).( b2006 – c2006).( c2007+ a2007 )
Bài 4:(7 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM = AN. Các đường thẳng AM, BN cắt CD theo thứ tự ở E, F .
a, Chứng minh CE . DF = a2
b, Gọi I là giao điểm của FA và EB. Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với tam giác DAF và

c, Biết CM =
.Tính diện tích đa giác AIBCD theo a
d, Các điểm M và N có vị trí như thế nào thì EF có độ dài nhỏ nhất.










Biểu điểm và đáp án môn toán 8
Bài 1: 5 điểm
Câu a: 1điểm
- Phân tích được mẫu thành nhân tử : x
– 3 x – 2 = (x + 1)
(x – 2) (0,5 điểm)
- Chỉ ra được phân thức có nghĩa khi và chỉ khi x
và x
(0,5 điểm)
Câu b: 2 điểm
A =
=
(0,75 điểm)
=
(0,75 điểm)
=
(0,5 điểm)
Câu c: 2 điểm

A = 4
( 0,5 điểm )
Giải phương trình:

(1 )
Với ĐK x
và x
để phân thức có nghĩa thì (1) xác định
Từ (1)
( x – 1)2 = 4(x – 2)

x2 – 2x + 1 = 4x – 8
x2 – 6x + 9 = 0
( x – 3 )2 = 0
x = 3 ( 1 điểm)
x = 3 thoả mãn đk x
-1; x
2
Vậy để A = 4 thì x = 3 ( 0,5 điểm )
Bài 2: 4 điểm
Khi chia đa thức f(x) lần lượt cho (x – 1); (x – 2); (x – 3 )đều được dư là 6 suy ra f(x) – 6 chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) (1 điểm ) mà f(x) – 6 là đa thức bậc 3 và (x – 1); (x – 2); (x – 3) đôi một không có nhân tử chung suy ra f(x) – 6 = m(x – 1)(x – 2)(x – 3) (m là hằng số ) (1 điểm)
Đẳng thức trên đúng với mọi giá trị của x. Thay x = – 1 vào đẳng thức trên tìm được m = 1 (1 điểm)
Với m = 1, tìm được f(x) = x
- 6x
+ 11x (1 điểm)
Bài 3: 4 điểm
(a +b + c ) (
) = 1



(vì abc
(0,5 điểm)
Đưa được về dạng (a + b)(b + c)(a + c) = 0 ( 1,5 điểm)

(0,5 điểm)
+ Nếu a = – b suy ra a
= – b





+ Nếu b = – c


+ Nếu c = – a

(1 điểm )
Kết luận: M = 0 ( 0,5 điểm )
Bài 4: 7điểm
I


A B


N
M


F D C E

a/ (1 điểm)
Vì AB // EF, áp dụng hệ quả của định lý Talet ta có:

(vì CM = AN; AD = BC; BM = DN ) (0,75 điểm)

a2 (0,25 điểm)
b/ (2 điểm)
Ta có
(vì ABCD là hình vuông) (0,5 điểm)
Lại có:
(0,25 điểm)
Do đó
đồng dạng với
DAF (c-g-c) (0,25 điểm)

, mà
(0,5 điểm)

. Suy ra
(0,5 điểm)
c/ (2 điểm)
Ta có:

(0,25 điểm)
áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCE vuông tại C, ta có:
BE =
(0,25 điểm)
C/m

(g-g) (0,25 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)
Vậy SAIBCD = SAIB + SABCD =
(0,25 điểm)
d/ (2 điểm)
Ta có EF = FD + DC + CE = DF + CE + a
EF có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi DF + CE nhỏ nhất, mà CE.DF = a2 không đổi. Ta thấy CE và DF có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi CE = DF (1 điểm)
Khi đó CE2 = a2; CE = DF = a (0,5 điểm)
Vậy độ dài EF nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. (0,5 điểm)