đề thi HSG TOÁN 9

Thi học sinh giỏi cấp thành phố năm học 2008-2009
Hướng dẫn chấm Toán lớp 6


Bài 1: (2 điểm)
Cho S =17 + 172 + 173 +....................+ 1718
a/ Chứng tỏ S chia hết cho 307
b/ Tìm ưCLN của S và 18
HD: Mỗi câu giải đúng cho 1 điểm.
Biến đổi được S= 307 (17 +174 +177 +....+1716)
Biến đổi được S= 18 (17 +173 +175 +....+1717)
Bài 2: (2 điểm)
a/ Tìm 3 số nguyên tố khác nhau biết tích của 3 số đó gấp 3 lần lần tổng của chúng.
b/ Tìm các số nguyên dương thoả mãn ab
HD: Mỗi câu giải đúng cho 1 điểm.
gọi 3 số nguyên tố khác nhau đó là x, y, z theo bài ra ta có xyz=3 (x+y+z)
mà 3 nguyên tố trong 3 số x,y, z phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Giả sử x chia hết cho 3, mà 3 nguyên tố nên x=3, vậy ta có yz=y+z+3 mà
mà z nguyên tố nên
+Nếu z 1=1
+Nếu z 1=2 x loại vì zx
+Nếu z 1=4 . Vậy 3 số nguyên tố phải tìm là 2, 3, 5
b/ Đăt vì a, b nguyên dương và abnên n nguyên dương

-Nếu không thoả mãn
-Nếu vì n=(n-1)+1, vậy
vậy ta có a=4 và b=2
Bài 3: (2 điểm)
a/ Tìm số nhỏ nhất phải nhân với 2940 để được tích là lập phương của một số tự nhiên.
b/ Tìm x, a, b nguyên dương biết 4x – 1=3a và x+2=3b .
HD: Mỗi câu giải đúng cho 1 điểm.
a/Ta biết khi phân tích lập phương của 1 số tự nhiên ra thừa số nguyên tố thì số mũ của luỹ thừa các thừa số nguyên tố đó chia hết cho 3. Phân tích 2940 ra thua số nguyên tố ta được 2940(*) . Do vậy muốn được số tự nhiên nhỏ nhất là lập phương của một số tự nhiên ta phải nhân của (*) với tức là nhân với 3150.
Thự lại ta có:
b/ Vì x nguyên dương
mà nên ta có hoặc 9 ( vì x+2do x nguyên dương).
Xét các trường hợp ta tìm được x=1, a=1, b=1 hoặc x=7 , a=3 , b=2
Bài 4: (2 điểm)
a/ Rút gọn phân số
b/Tìm phân số bằng phân số và có mẫu số lơn hơn tử số là 204.
HD: Mỗi câu giải đúng cho 1 điểm.
a/ biến đổi và rút gộn được bằng
b/ Phân số phải tìm có dạng và
Vậy phân số phải tìm là
Bài 5: (2 điểm)
a/Tìm một số có hai chữ số biết 3 lần số đó bằng bình phương của tổng các chữ số của số đó và số đó bằng 4 lần tổng các chữ số của số đó.
b/ Cho 3 điểm A, B, C trên mặt phẳng, biết số đo các đoạn thẳng là: AB=4cm, AC=6cm, BC=8cm. Hãy chứng tỏ 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
HD: Mỗi câu giải đúng cho 1 điểm.
a/ Gọi số phải tìm là , theo bài ra ta có và
Vậy số phải tì