Đề kiểm tra môn Toán

PHÒNG GD&ĐT THANH BA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài: 150 phút )

Câu 1 (3,0 điểm):
a) ( 1,5 điểm) CMR n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ (n( Z)
b) ( 1,5 điểm) Cho các số A =
; B =
; C =

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .
Câu 2: (4 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của B tại
.
b) Cho các số thực a, b, c và x, y, z thỏa mãn:
và
.
Chứng minh rằng:
.

Câu 3(4 điểm):
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 4: (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O;
). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
a. Tính

b. Chứng minh:

c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Câu 5: (2 điểm)
Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
- x+ y

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


PHÒNG GD&ĐT THANH BA
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2014-2015

Câu
Đáp án
Điểm





1a
( 1,5 điểm)
Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9)
= (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k
Z)
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)
A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là bội của 24
A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

0,25


0,5

0,5
0,25






1b
( 1,5 điểm)
Ta có: A =
; B =
; C =

Nên: A + B + C + 8 =
+
+
+ 8
=

=

=

Vậy A + B + C + 8 là số chính phương




0,5

0,5



0,5

2a
(2 điểm)
a) Biến đổi ta có:

và

Suy ra:

Do đó:


0,5

0,5

0,5


0,5

2b
(2 điểm)
b) Ta có:



Suy ra:
(1)
Tương tự:
(2) và
(3)
Cộng theo vế (1), (2), (3) và kết hợp với giả thiết ta được điều phải chứng minh.



0,5


0,5


0,5

0,5

3a
(2 điểm)
a)Giải phương trình:

Điều kiện: x
. Đặt
thì
.
Thay vào phương trình đã cho ta được:



( Vì
)



. Do
nên
.
Khi đó x =
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x =





0,5


0,5

0,5



0,5

3b
(2 điểm)
Giải hệ phương trình:

Từ







(1)
Tương tự:







(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2)
2(x+ y) =0
x + y