Bài thực hành 1. Làm quen với Turbo Pascal

Chuyên đề :Vài dạng bài tập khó về phép chia đa thức
Một số vấn đề về lý thuyết
1.Với đa thức nhiều biến số : Đa thức A được gọi là chia hết cho đa thức B khác đa thức không nếu có đa thức C sao cho A = BC .
2. Với đa thức một biến số ta có định lý cơ bản sau đây :
Định lý : Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) ( đa thức không, tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x), với r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) được gọi là thương, r(x) được gọi là dư.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)
g(x)
Nếu r(x) ( 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có dư.
Định lý Bơdu : Dư trong phép chia đa thức f(x) cho x – a là một số bằng f(a)
Hệ quả : f(x) – f(a) chia hết cho x – a
Đa thức không : là đa thức lấy giá trị bằng 0 với mọi giá trị của biến số
Đa thức với hệ số nguyên : Là đa thức có mọi hệ số đều là số nguyên
Phần bài tập :
I.Bài tập chứng minh chia hết
1.Với đa thức nhiều biến số : Để chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B , ( B khác đa thức không ), ta phân tích A thành tích của đa thức B với một đa thức khác .
Ví dụ1 : Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c
Giải :
Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b )3 + c3 – 3abc – 3ab( a + b ) =
= ( a + b + c )[( a + b )2 – ( a + b )c + c2 ] – 3ab( a + b + c )
= ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca )
Vậy a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c
Ví dụ 2 : Cho x , y , z là những số nguyên dương khác nhau . Chứng minh rằng :
( x – y)5 + ( y – z)5 + ( z – x)5 chia hết cho 5(x – y)(y – z)( z – x)
Giải :
Đặt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c ta có a + b + c = 0 . Bài toán trở thành :
Chứng minh rằng : Nếu a + b + c = 0 thì a5 + b5 + c5 Chia hết cho 5abc .
Từ a + b + c = 0 ⟺ a + b = - c ⟺ ( a + b)5 = - c5 ; ( a + b)3 = - c3
Ta có : a5 + b5 + c5 = ( a + b)5 + c5 – 5a4b – 10a3b2 – 10a2b3 – 5ab4
= - c5 + c5 – 5ab( a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 )
= - 5ab[( a + b)3 – 3ab( a + b) + 2ab( a + b)]
= - 5ab[ ( a +b)3 – ab(a+b)]
= - 5ab( - c3 + abc ) = 5abc( c2 – ab ) ( đpcm
2.Với đa thức một biến số : Để chứng minh f(x) chia hết cho g(x) , g(x) khác đa thức không , có hai cách giải quyết :
Cách 1 : Như đa thức nhiều biến số
Cách 2 : Dùng thuật toán chia cột dọc
Cách 3 : Dùng định lý Bơdu ( nếu có thể )
Ví dụ : Chứng tỏ x3 – 6x2 + 11x – 6