Vấn đề 2: Cực trị của hàm số

VẤN ĐỀ 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A( Tóm tắt lí thuyết:
2(Định nghĩa: Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ( R và x0 (D.
a) Điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tại một khoảng (a;b) ( D chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), (x ((a;b){x0}
* f(x0) ( giá trị cực đại của hàm số.
* Điểm M( x0; f(x0)) điểm cực đại của đồ thị.
b) Điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu
tại một khoảng (a;b) ( D chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), (x ((a;b){x0}
* f(x0) ( giá trị cực
* Điểm M( x0; f(x0)) điểm cực của đồ thị.
c) Giá trị cực đại và giá cực tiểu gọi chung là các cực trị.
( Minh bằng đồ thị)
* ý: 1( Giá trị cực đại ( cực tiểu) nói chung không phải là GTLN( gtnn), nó mang tính địa phương trong một khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu.
2( Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên D, cùng có thể hàm số không có cực trị trên D.
3( Định lí:
+Dấu hiệu cần: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0.
+Dấu hiệu đủ:
Dấu hiệu 1: (Tính theo chiều tăng của trục số)
f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 ( x0 ( là điểm cực đại.
f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 ( x0 ( là điểm cực tiểu.
Dấu hiệu 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x0.
* *
*
4( Phương pháp tìm cực trị:
Qui tắc 1: + Tìm f’(x).
+ Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0.
+ Lập bảng xét dấu ( Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận.
Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trị tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0)
B1( Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm xi.
B2( Tính f”(xi) . Nếu f”(xi) < 0 ( xi là điểm cực đại
Nếu f”(xi) > 0 ( xi là điểm cực tiểu.
Nếu f”(xi) = 0 không thể kết luận được cực trị.
Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo hàm cấp hai quá đơn giản.



B( Luyện tập:

I(Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số ( Cho biết cực trị tìm hệ số.
Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 +3x2 (36x (10 b) y= c) d) y =
e) y= g) y = sin2x ( x h) i)
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) f(x) = 2x3 (9x2 + 12x + 3 b) f(x) = ( 5x3 + 3x2 ( 4x + 5 c) f(x) = 3x4 ( 4x3 (24x2 + 48x (3
d) f(x) =
e) f(x)=
g) f(x) =
h) f(x) =
.
Bài 3: Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 2.
Bài 4: Cho hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x +2 .(1)
Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số khi m = (1.
Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5: Cho hàm số 3). Tìm m để hàm số (3) đạt cực đại tại x = 2.
6: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)