Toan hoc

Nhiệt liệt chào mừng qúy thầy cô giáo
Về dự chuyên đề Toán Lớp 6
Tổ: Toán – Lý – Công nghệ
Trường THCS Nguyễn Văn Tố
Năm học: 2012-2013
Chuyên đề:
Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên
Nguyễn Phích, ngày 26 tháng 9 năm 2012
1/ Định nghĩa:
Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0). Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q . Kí hiệu a⋮b

Ta còn nói:
- a là bội của b hoặc b là ước của a.
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ TỰ NHIÊN
2/ Các tính chất về chia hết :
* Tính chất chung:
c)Tính chất bắc cầu: Nếu a⋮b; b⋮c thì a⋮c
b)a⋮a với mọi số a ≠ 0
a) Số 0⋮b với mọi số b ≠ 0.
2/ Các tính chất về chia hết:
* Tính chất chung:
* Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
d) Nếu a⋮m, b⋮m thì a+b⋮m ; a-b⋮m
+ Hệ quả:
Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và a⋮m => b⋮m
Nếu (a + b)⋮m (hoặc a - b⋮m) và b⋮m => a⋮m
2/ Các tính chất về chia hết:
* Tính chất chung:
* Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.

* Tính chất chia hết của một tích.
+Hệ quả:
Nếu a⋮m thì an⋮m (n là số tự nhiên ≠ 0).
g) Nếu a⋮m, b⋮n thì ab⋮mn
+ Hệ quả: nếu a⋮b thì an⋮bn
f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.


2/ Các tính chất về chia hết:
* Các tính chất khác:

h)Nếu A⋮B thì mA +nB⋮B , mA – nB⋮B.
i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p.
+ Hệ quả: Nếu an⋮p (p là số nguyên tố) thì a⋮p.
j) Nếu ab⋮m, (b,m)=1thì a⋮m.
k) Nếu a⋮m, a⋮n thì a⋮BCNN(m,n) .
+ Hệ quả:
-Nếu a⋮m, a⋮n, (m,n) = 1 thì a⋮mn
-Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùngnhau đôi một thì a chia hết cho tích của chúng.
Ví dụ: số 384 chia hết cho 4
Ví dụ: số 13175 chia hết cho 25
Ví dụ: số 25104 chia hết cho 8
Ví dụ: số 34250 chia hết cho 125
cho 11
Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 hoặc tổng các số ở vị trí chẵn bàng tổng các số ở vị trí lẻ
VD: 13574 chia hết cho 11
4 5606 chia hết cho 11
Các dấu hiệu chia hết:
Dấu hiệu chia hết cho 7
Quy tắc thứ nhất: Lấy chữ số đầu tiên bên trái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ kế tiếp rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Số 24668 chia hết cho 7
  -Ta có (2.3 + 4) - 7 = 3 -> (3.3 + 6) - 2.7 = 1
->(1.3 + 6) - 7 = 2
Cuối cùng 2.3 + 8 = 14 chia hết cho 7.
Vậy: 24668 chia hết cho 7; vì 24668 = 7.3524
Quy tắc thứ hai: Lấy chữ số đầu tiên phải nhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số kế tiếp rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Số 24668 chia hết cho 7
-Ta có (8.5 + 6) - 42 = 4 ->(4.5 + 6) - 21 = 5
-> (5.5 + 4) - 28 = 1
-cuối cùng (1.5 + 2) = 7 chia hết cho 7.
Vậy 24668 chia hết cho 7;vì 24668 = 7.3524
Dấu hiệu chia hết cho 6:
Chữ số tận cùng là số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6
Ví dụ: 123456 chi hết cho 6
Tóm lại: -Dấu hiệu chia hết cho 2;5 xét chữ số tận cùng. -Dấu hiệu chia hết cho 3, 9 tổng các chữ số. -Dấu hiệu chia hết cho 4,25; 8,125 xét hai chữ số hoặc ba chữ số tận cùng. - Dấu hiệu chia hết cho 7 có nhiều cách tính như trình bày ở trên.
II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:
Dạng1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số
Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết, còn phải tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác như:
+ Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa.
+ Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa.
+ Phép chia có dư.
+ Cấu tạo số.
+ Số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 1:
A = (2 + 22 + 23+ 24 + 25) + (26 + 27 + 28+ 29 + 210) + ....... + (296 + 297 + 298 + 299 + 2100)
= 2 (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26 (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + …. + 296 (1 + 2 + 22 + 23 + 24)
= 2.31 + 26 .31 + .... +296 .31
= 31.(2 + 26 +... + 296)
Vậy: A⋮31
Phương pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng A = 31.Q rồi áp dụng tính chất
Cho A = 2 + 22 + 23 +.......+ 299 + 2100 .CMR: A⋮31
Giải:
Phương pháp: Tìm chữ số tận cùng của
34n+1 + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng 34n+1 + 2⋮5 với mọi n
Giải:
34n+1 + 2 = (34 )n.3 + 2
Chú ý: 81n luôn có số tận cùng bằng 1, nên 81n.3 có số tận cùng bằng 3 . Vậy:81n.3+2 có chữ số tận cùng bằng 5 luôn chia hết cho 5
=…..3 + 2
=…5
Vậy: 81n .3 + 2 ⋮5
hay 34n+1 + 2 ⋮5
= 81n .3 + 2
Ví dụ 3:
Phương pháp: Vì 2.9=18 và ƯCLN(2,9)=1nên cần chứng minh biểu thức chia hết cho 2 và 9 thì sẽ chia hết cho 18
Chứng minh rằng 1033 + 8⋮18
Giải:
1033 + 8 =
10.............0 + 8 = 10...............08
33 chữ số 0 32 chữ số 0
Số 10..............08 có chữ số tận cùng là 8 nên
33 chữ số 0 chia hết cho 2,

Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9
mà ƯCLN(2,9)=1Nên
1033 + 8⋮18
Ví dụ 4:
-Phương pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn a, b rồi tìm hiệu của chúng.
Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c ≠ 0 có cùng số dư thì hiệu a - b chia hết cho c.
Giải :
Ta có a = cq1 + r (0 ≤ r < c)
b = cq2 + r (0 ≤ r < c)
Giả sử a > b, a – b =
(cq1 + r) - (cq2 + r)
= cq1 + r – cq2 - r
= cq1 – cq2 =
c(q1 – q2)
Vậy: a – b⋮c

Khai thác bài toán: Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho 9.
Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2
Ví dụ 5:
Cho n∊N. Chứng minh rằng: n(n + 1)(2n + 1)⋮6
Giải :
Do đó: n(n + 1)(2n + 1) ⋮2.
Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3
thì n(n + 1)(2n + 1) ⋮6
(Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
Xét hai trường hợp :
+Nếu n⋮3
n(n + 1)(2n + 1)⋮3 (n + 1)(2n + 1)⋮6
Khi n =3k + 1 thì 2n + 1 =2(3k + 1) +1= 6k+ 3⋮3
n(n + 1)(2n + 1)⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮6
Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 3⋮3
n(n + 1)(2n + 1)⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮6
Vậy: Ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)⋮6 với mọi N
Với a, b là những chữ số khác 0. Hãy CM: aaabbb chia hết cho 37
Ví dụ 6:
Phương pháp:
Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = B.Q
Giải:
= 111.(1000.a + b)
= 37.3 (1000.a +b)
Ví dụ 7:
Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7.
Giải:
Nên 10Y ⋮7
Do 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y⋮ 7
VD: 227948 ⋮7 thì 822794⋮7
Ví dụ 8:
Chứng minh rằng 10n +18n –1 chia hết cho 27
Phương pháp: biến đổi 10n + 18n – 1 thành tổng các số hạng đều chia hết cho 27.
Giải:
Hay 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.
= 10n – 1 – 9n + 27n
* Dạng 2:
Ví dụ: Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để chia hết cho 36
Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết.
Giải:
Để A⋮9 thì 5+2 + * +2 +0 phải chia hết cho 9, tức là 9 + *phải chia hết cho 9, do đó*∊{ 0 ; 9 }
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp, ta tìm được các số :52020 ; 52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36.
Vì 13 : 3 dư 1 Nên a + b : 3 dư
Giải:
2 (1)
Do a,b là chữ số và a – b=4 nên:
4≤ a ≤ 9 và 0≤ b ≤ 5
4≤ a + b ≤ 14 (2)
Do a – b là số chẵn nên a + b cũng là số chẵn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a + b∊
{8 ; 14}
Với a + b = 8 , a – b = 4 Thì a = , b =
6 2
Với a + b = 14, a – b = 4 Thì a = 9, b = 5
Ta được các số 76521 ; 79551 chia hết cho 3
Ví dụ 11:
Tổng chữ số hàng lẻ là: 1 + a + 1 = a + 2
Giải :
Tổng chữ số hàng chẵn là: a + a = 2a
- Nên 2a =a + 2, ta có a=2 =>12221⋮11
-Trường hợp 2: Tổng số lẻ trừ tổng số chẵn
Vậy số a = 2 thì ta được số 12221⋮11
Ta có:
-Nếu (a + 2)-2a ⋮11, ta có 2 - a ⋮ 11 suy ra a =2
-Trường hợp 1: Tổng số chẵn bằng tổng số lẻ
Dạng 3: Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trước
Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
Ví dụ 12:
(2x + 1)(y – 3) = 10
- Phương pháp : Xét các ước của 10
Giải:
x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y – 3 là
các ước của 10 (y>3).
-Các ước của 10 là 1 ; 2 ; 5 ; 10.
Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 ∊
{1 ; 5}
Ta có  :
10
0
13
2
2
5
Vậy x=0; y=13 hoặc x=2; y=5
Ví dụ 13:

n + 6=(n -1) + 7
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 6 ⋮ n – 1
Ta có: n + 6 ⋮ n – 1
7⋮n – 1
Do đó n – 1 là ước của 7,
n – 1 ∊
{1; 7}
Ta có bảng sau:
8
Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì n + 6 ⋮ n – 1
Giải:
2
Ví dụ 14:
Tìm số có ba chữ số giống nhau biết rằng số
đó có thể viết được dưới dạng tổng các số tự nhiên liên
tiếp từ 1.
Giải:
Vì n.(n+1)⋮37nên tồn tại một trong hai thừa số ⋮37
Mà:

là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n<74
Suy ra n = 37 hoặc n + 1 = 37
Vậy số phải tìm là 666




Bài giải
Ví dụ 15:
Vậy:
Ta có
Ta có
Ví dụ 16:
Vậy: 101.9.(a-b) chia hết cho 9 và 101
Nên
Bài gải:
Ví dụ 17:
Bài giải
Ta có:
Số 203203203 chia hết cho 7
Ví dụ 18:
Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 ⋮7
Bài giải
Ta có:18n + 3 = 14n +(4n+3) vì 14n ⋮ 7 còn lại (4n+3) ⋮7
Do đó: (4n+3) ∊ B(7) vì 0 ≤ n ≤ 9
nên (4n+3) ∊ (0; 7;14;21;28;35)
Vậy số n phải tìm là 1 và 8
Kính chúc quý Thầy Cô
SỨC KHOẺ VÀ HẠNH PHÚC.

XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN !
HẸN GẶP LẠI