Toán hay lớp 6

Đề BT
1/ Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2+b2 chia hết cho tích a.b. Hãy tính giá trị của biểu thức:
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có
A= 2005n +60n -1897n -168n chia hết cho 2004.
3/ Xét phân số Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2005 sao cho phân số A chưa tối giản?
4/ Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, các phân số sau tối giản:
a) b)
5/ Cho nN, n1. Chứng minh rằng: Tn =15+25+...+n5 chia hết cho tổng của n số tự nhiên đầu tiên Sn =1+2+...+n.
6/ Cho trong đó p, qZ. Chứng minh rằng p chia hết cho 1979.
7/ Tìm các số nguyên tố p sao cho:
2p +1 bằng lập phương của một số tự nhiên.
13p +1 bằng lập phương của một số tự nhiên.
8/ Tìm các chữ số a, b, c sao cho: chia hết cho 1025.
9/ Cho A= 44444444. Gọi B là tổng các chữ số của A, C là tổng các chữ số của B. Tìm tổng các chữ số của C.
10/ Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm số tự nhiên n biết:
n +S(n) =2000
S(n) =n2 -1991n +20.
11/ Hãy tìm số chính phương lớn nhất có chữ số cuối khác 0 sao cho khi xoá bỏ hai chữ số cuối thì nhận được một số chính phương.
12/ Tìm một số chẵn lớn nhất có năm chữ số mà ba chữ số đầu (gữ nguyên giá trị từ trái sang phải) tạo thành một số chính phương và ba chữ số cuối (giữ nguyên thứ tự) tạo thành một lập phương đúng.
13/ Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm một đơn vị là một số chính phương.
15/ Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C không trùng O. Trên tia Oy lấy bốn điểm D, E, G, H không trùng O. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là ba trong tám điểm O, A, B, C, D, E, G, H?
16/ Cho đoạn thẳng AB =1m. Lấy A1 là trung điểm của AB, A2 là trung điểm của AA1, A3 là trung điểm của AA2, ... cứ tiếp tục như vậy cho đến A20 là trung điểm của AA19. Tính độ dài AA20.
17/ Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.(5050)
18/ Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào dồng quy. N bằng bao nhêu để số giao điểm là 780?(n=40)
19/ Cho n điểm. Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính n biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng.(n=30)
20/ Cho đa thức bậc bốn thoả mãn:
P(-1) =0 và P(x) –P(x-1) =x(x+1)(2x+1).
a/ Xác định P(x).
b/ áp dụng tính tổng: S =1.2.3 +2.3.5 + ... +n(n+1)(2n+1)

Lời giải

1/ Gọi d =(a,b) thì a =d.a1 và b =d.b1 với (