Toán 2006 - 2007 - 2009

Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007
Đề I

Câu I: Cho hàm số
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
Câu II:
1. Giải phương trình:

2. Tìm m để phương trình:
có đúng 2 nghiệm
Câu III: Cho đường thẳng d:
và mặt phẳng
(P):

1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ( nằm trong (P) sao cho ( ( d và khoảng cách từ M đến ( bằng
.
Câu IV:
1. Tính

2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a + b = 3.
Chứng minh:
.
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có

.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ x ( 0 và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ( 0 sao cho (ABC vuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích (ABC lớn nhất.
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải bất phương trình:
.
2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông
, AA1 = a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính
.

Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát (Bạn đọc tự làm)
2. Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là

Phương trình tiếp tuyến (() qua A có dạng

(() tiếp xúc với (C)



Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là



và



. Do đó

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Câu II:
1. Giải phương trình:
(1)
(1)











2. P/trình cho
(1)


(1) đặt:

(1)
(()
Phương trình cho có đúng 2 nghiệm ( phương trình (() có đúng 2 nghiệm t ( 0
Vẽ đồ thị của hàm số

Ta có

y

4

2

0
1 2 3 x

Từ đồ thị ta có ycbt
2 < m ( 4

Cách khác

và





Do đó, ycbt
2 < m ( 4
( khi 2 < m ( 4 thì (() có đúng 2 nghiệm t1, t2 thỏa
và t2 > 3 )
Câu III:
1. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Phương trình số của d:
có VTCP

Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + 2 = 0
( t = –1( M ( 1 ;- 3 ; 0)
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có PVT

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:
2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = 0 ( 2x – 3y + z – 11 = 0 (Q)
2. Phương trình đường thẳng (d`) hình chiếu của d lên mặt phẳng P là:
d`:
có VTCP

( Phương trình tham số của d`:

Trên d` tìm điểm N sao cho MN =

Vì N ( d` ( N(4t +1, –3 + t, – 5t)




. t = 1 ( N1(5, –2, –5)
Đường thẳng (1 qua N1 nằm trong (P), vuông góc d` có VTCP

.
Vậy phương trình (1:

. t = –1 ( N2(–3, –4, 5)
Đường thẳng (2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d` có VTCP


Vậy phương trình (2:


Câu IV:
1. Tính





2. Từ giả thiết