Tìm số tận cùng của A mũ n

Tìm số tận cùng của số có lũy thừa lớn
I.- Giới thiệu:
Một số đề thi với HSG đã học về lũy thừa hay gặp đề cho tìm số cuối cùng của một số lũy thừa an Trong đó cơ số a thường là số nguyên tố, n là một số nguyên có nhiều chữ số. Nếu không biết thuật tính sẽ rất khó làm.
Cách đây hàng trăm năm, Euler đã chứng minh một định lý (Định lý Euler) dựa vào đó tính ra rất nhanh. Nếu chưa biết Định lý Euler cũng có thể suy luận dựa trên tính chất chia cùng số dư.
Tài liệu này giới thiệu cả hai cách tính để các bạn tham khảo. HS lớp 6 nên áp dụng cách suy luận số dư; HS lớp 9 nên áp dụng Định lý Euler
II.-Bài mẫu :
1./ Đề 1: Tìm chữ số tận cùng của số 7222.
Giải :
a./ Cách thứ nhất: Áp dụng tính chất cùng dư ta thấy
với các số 71; 72, ; 73 ; 74 ; 75 ta dễ dàng tính được
lần lượt = 7; 49; 343; 2401; 1 6807. Nghĩa là số hàng đơn vị của 7n có qui luật , trong chỉ số lũy thừa cứ tăng n+4 thì 7n+4 lại trùng số cuối của 7n; mà 222 chia 4 dư 2 . Do đó số cuối cùng của 7222 trùng với số cuối cùng của 72 đó là số 9 .
Vậy chữ số tận cùng của số 7222 là số 9 .
b./ Cách thứ hai: Áp dụng Định lý Euler (Xem bài Định lý Euler-phần công cụ toán học)
Nếu n là số nguyên dương bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với n, thì


Ta có : 7222 = 74x55 + 2 = (74)55x72 ≡ 155x72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).
Vậy 7222 có chữ số tận cùng là 9.
2./ Đề 2: Tìm chữ số tận cùng của số 13111.
* Biết các số ; 31; 32, ; 33 ; 34 ; 35 lần lượt có số cuối cùng là: 3; 9; 7; 1; 3; Nghĩa là số hàng đơn vị của 3n và 13m. có qui luật cứ n+4 và m+4 lại trùng số cuối n hoặc m.
Xét 111 chia 4 dư 3, do đó số cuối cùng 13111 trùng với số cuối cùng của 33 đó là số 7
Vậy 13111 có chữ số tận cùng là 7.
Lưu ý hai số 3 & 13 đều là số nguyên tố và số tận cùng của 3n có qui luật tương tự số tận cùng của 13m . Vì lấy lũy thừa của cơ số 13 mất công nhiều hơn cơ số 3, nên chỉ cần lấy dãy số 3; 9; 7; 1; 3 làm gốc chung.
*Cách thứ hai:
Ta có : 13111 = 134x27+ 3 = (134)27x133 ≡ 127x133 ≡ 127x33 ≡ 7 (mod 10).
III.- Bài thực hành
1./ Hãy xác định chữ số tận cùng của số 132011
2./ Có số A = 1331 .(1311 - 137 ); Hãy xác định chữ số tận cùng của số A