Tìm lời giải hình học cho bài toán có nội dung HH ở TH

`
Nhiệt liệt chào mừng các thầy cô giáo
về dự lớp tập huấn hè 2010.
Phương pháp tìm lời giải cho một bài toán hình học ở tiểu học
Bài 1: Những điều cần ghi nhớ
1. H×nh tam gi¸c:
Tam giác có 3 góc nhọn
Tam giác có 1 góc tù
Tam giác có 1 góc vuông
* Chiều cao của tam giác
A
C
B
BC là đáy, AH là chiều cao
C
A
H
B
A
B
C
H
* C«ng thøc tÝnh chu vi tam gi¸c
P = a + b + c
(P lµ chu vi, a, b, c lµ ®é dµi cña 3 c¹nh)
* Công thức tính diện tích tam giác
S = a x h : 2
(S là diện tích, a là độ dài đáy, h là chiều cao
2. Hình thang
Hình thang có 4 cạnh trong đó có một cặp cạnh đối diện song song. Cặp
cạnh song song đó gọi là 2 đáy của hình thang; Độ dài đoạn thẳng giữa 2
đáy, vuông góc với 2 đáy gọi là chiều cao của hình thang.
* Chu vi hình thang
P = a + b + c + d
(P là chu vi, a, b, c, d là độ dài 4 cạnh)
* Diện tích hình thang
S = (a + b) x h : 2
(S là diện tích, a,b là dộ dài cạnh đáy, h là chiều cao)
Chu vi:
C = d x 3,14 (d là đường kính)
Hoặc C = r x 2 x 3,14 (r là bán kính)
3. Hình tròn, đường tròn
Diện tích
S = r x r x 3,14 (S là diện tích, r là bán kính)
Chú ý
Đối với các hình khác hình trên thì:
Chu vi = tổng độ dài các cạnh
Diện tích được tính bằng 2 cách:
Cách 1: Phân chia hình cần tìm diện tích thành các hình nhỏ. Mỗi hình nhỏ này thuộc các hình vừa nêu trên sao cho mỗi điểm trên hình nhỏ này thì không nằm trên hình nhỏ khác.
Cách 2: Tìm một hình thuộc loại các hình vừa nêu trên mà hình này được phân chia thành các hình nhỏ có một hình nhỏ là hình cần tính diện tích, các hình nhỏ còn lại thuộc các hình đã nêu trên. Diện tích cần tính bằng diện tích các hình nhỏ (Không kể hình nhỏ cần tính diện tích).
4. Hình hộp chữ nhật
* Diện tích xung quanh:
Sxq = (a + b) x 2 x c
(Sxq là diện tích xung quanh, a, b, c là chiều dài, rộng, cao)
* Diện tích toàn phần
Stp = Sxq + 2 x a x b
(Stp là diện tích toàn phần, Sxq là diện tích xung quanh, a, b là chiều dài, rộng của đáy)
* Thể tích:
V = a x b x c
(V là thể tích, a, b, c là chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật)
5. Hình lập phương
* Diện tích xung quanh:
Sxq = a x a x 4
(a là độ dài cạnh)
Diện tích toàn phần:
Stp = a x a x 6
(a là độ dài cạnh)
Thể tích:
V = a x a x a
(a là độ dài cạnh)
6. Hình trụ
7. Hình cầu
Chú ý:
Diện tích hình ABC viết gọn là SABC
2/3 x AB viết gọn là: 2/3 AB
5/7 x SABC viết gọn là 5/7SABC
Bài 2: dạng toán nhận biết hình
* Có 2 dạng:
+ Đọc tên các hình có được trên một hình vẽ cho trước.
+ Tính số hình có được trong trường hợp hình cho trước có rất nhiều đỉnh, điểm.
* Cách tiến hành:
Dạng 1:
+ Cách 1: Đọc tên các đoạn thẳng (góc, tam giác, hình vuông.) theo yêu cầu đầu bài mà hình này có chung một đỉnh (điểm đối với đoạn thẳng) theo thứ tự lần lượt hết các đỉnh có trên hình.
+ Cách 2: Đánh số các hình đơn sau đó đọc tên các hình đơn, hình ghép đôi, ghép ba, .
Dạng 2:
Tính số hình có được trong trường hợp hình vẽ cho trước có số đỉnh (điểm) trong hình ít, từ hai cách đọc nêu trên ta đếm được số hình theo yêu cầu bài toán.

Trong trường hợp hình vẽ cho trước có số đỉnh (điểm) trong hình lớn tổng quát ta cần thực hiện qua 2 bước:
+ Bước 1: Tính số hình có được theo yêu cầu bài toán ở trường hợp rất đơn giản (xét vài trường hợp)
+ Bước 2: Chỉ ra quy luật đếm số hình theo yêu cầu bài toán(dựa vào quy luật của dãy số) từ đó đề xuất cách đếm số các hình của hình đó.
Bài 1:
Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm M, N P, Q. Nối điểm A với 4 điểm đó. Hỏi có bao nhiêu tam giác có trong hình đó?
Tìm lời giải:
Cách 1: Lần lượt liệt kê các hình tam giác
có chung cạnh AB, AM, AN, AP, AQ.
Cộng lại ta được số tam giác có trong hình.
Cách 2: Lần lượt liệt kê các hình tam giác
đơn, tam giác ghép đôi, ghép 3, ghép 4,
ghép 5. Cộng lại ta tính được số tam giác có trong hình.

A
B M N P Q C
Bài 2:
Cho hình tam giác ABC, các đoạn thẳng DE, HG cùng song song với BC.
a) Hãy cho biết hình đó có bao nhiêu hình tam giác?
b) Nếu vẽ 1000 đoạn thẳng cùng song song với BC và cắt các cạnh AB, AC của tam giác ABC thì có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Tìm lời giải
Bước 1: Đếm số tam giác có trong hình bằng cách liệt kê các tam giác có chung cạnh DE, HG, BC.
Bước 2: Tìm ra quy luật của dãy số chỉ kết quả ở trên, từ đó suy ra số hình tam giác có trong hình.
A
E
G
C
B
D
H
Bài 3: Dạng toán so sánh các đại lượng cùng loại
* Một số điều cần lưu ý:
Nếu hai hình tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.
Nếu hai hình tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì tỉ số hai đáy bằng tỉ số hai diện tích.
Nếu hai hình tam giác có diện tích bằng nhau, đáy của hai hình tam giác này gấp đáy của hình tam giác kia bao nhiêu lần thì chiều cao của hình tam giác kia gấp chiều cao của hình tam giác này bấy nhiêu lần.
Nếu một hình tam giác có đáy gấp lên k lần (hoặc chiều cao gấp lên k lần) thì diện tích gấp lên k lần.
Nếu một hình thang có chiều cao gấp lên bao nhiêu lần thì diện tích gấp lên bấy nhiêu lần.
- Hai hình hộp chữ nhật (A) và (B) có chiều dài hình (A) gấp n lần chiều dài hình (B), chiều rộng hình (A) gấp n lần chiều rộng hình (B) và chiều cao hình (A) gấp n lần chiều cao hình (B) thì diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của chúng gấp nhau một số lần bằng n x n và thể tích của chúng gấp nhau một số lần bằng n x n x n
Hai hình lập phương có kích thước gấp nhau n lần thì diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần gấp nhau số lần bằng n x n, còn thể tích gấp
nhau một số lần bằng n x n x n
Bài 1:
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 1/3 BC, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = NC. Nối A với M, M với N. So sánh
a) S ABM và 1/2 S AMC
b) SABM ; SAMN và SMNC
Tìm lời giải:
a) Nối M với N ta có SAMN = SMNC
(vì có chung đường cao hạ từ đỉnh M
và AN = NC); SAMC = SAMN + SMNC.
Từ đó để so sánh SABM với 1/2 SAMC
ta đi so sánh SABM với SMNC (hoặc SAMN)
b) Ta so sánh SAMN và SMNC với 1/2 SAMC từ đó đi so sánh SABM với SAMN với SMNC
A
B
C
M
N
Bài 2:
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E và F lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, BC. Đoạn CE cắt DB, DF lần lượt tại M và N. Chứng tỏ rằng diện tích hình tam giác DMN bằng tổng diện tích của các hình tam giác EBM và CNF.
Tìm lời giải:
Nối A với C,SABCD = SCAB + SCAD
SCAE = SCEB (chung đường cao
hạ từ C và AE = EB),
suy ra SCEB = 1/4 SABCD
Tương tự ta có SDBF = 1/4 S ABCD từ
đó suy ra SCEB = SDBF. Vậy để
chứng minh SDMN = SEMB + SCNF ta
đi so sánh diện tích của hai tam
giác CEB và DBF
D
C
A
B
E
F
M
N
Bài 4: dạng toán về tính toán liên quan đến chu vi, diện tích, thể tích các hình
* Một số điều cần lưu ý:
Đối với các bài toán tính diện tích các hình không quen thuộc (hoặc không có công thức) có 2 giải pháp:
+ Chia hình đó thành các hình dễ tính diện tích (hình quen thuộc)
+ Bổ sung vào hình đó một số hình có thể tính được diện tích để được hình mới dễ tính diện tích hơn.
Một số công thức để tính toán
Tính chiều cao của tam giác:
h= S x 2 : a
2. Tính chiều cao của hình thang
h = S x 2 : (a + b)
3. Tính tổng hai đáy của hình thang
a + b = S x 2 : h
4. Tính trung bình cộng hai đáy của hình thang
a + b : 2 = S : h
5. Tính bán kính hình tròn
r = C : (2 x 3,14)
6. Tính đường kính của hình tròn
d = C : 3,14
7. Tính kích thước của Hình hộp chữ nhật
a = V : b : c
b = V : a : c
c = V : a : b
(V là thể tích của hình hộp chữ nhật, a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

8. Diện tích một mặt của hình lâp phương
a x a = Sxq : 4
= Stp : 6
(a là độ dài cạnh,Sxq là diện tích xung quanh, Stp là diện tích toàn phần của hình lập phương)
Bài 1:
Một cái thùng có nắp dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có chu vi là 24 dm. người ta đổ đầy dầu thì thấy chứa được 180 lít dầu. Hỏi:
a) Mức dầu trong thùng là bao nhiêu dm3 ?
b) Diện tích toàn phần của thùng đó là bao nhiêu dm2 ?
* Tìm lời giải:
a) Ta biết 1 lít = 1dm3, vậy ta đi đổi 180l ra dm3
b) Vì đáy của thùng là hình vuông có chu vi 24 dm nên chiều dài và
chiều rộng của thùng chính là cạnh của đáy thùng = 24 : 4 = 6 (dm)
Mức dầu trong thùng cũng chính là thể tích của thùng = 180dm3
Ta đi tính chiều cao của thùng, từ đó ta tính được diện tích xung quanh và
tính được diện tích toàn phần của thùng.
Ví dụ 7:
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 1/3 CD và AC cắt BD tại O. Biết diện tích tam giác AOB = 4cm2. Tính diện tích hình thang ABCD
Bài giải:
A
B
D
C
H
E
4cm2
O
Bài 5: dạng toán về vẽ hình
* Vẽ hình theo yêu cầu cho trước là một dạng toán cũng rất thường gặp. Để giải tốt dạng toán này cần xem xét thật kĩ mối liên hệ giữa hình vẽ cho trước, số đoạn thẳng cần vẽ và hình cần có được.
Bài tập
Cho hình tam giác ABC. Hãy kẻ qua A một đường thẳng chia hình tam giác thành hai phần mà diện tích phần này gấp ba lần diện tích phần kia.
* Tìm lời giải:
Gọi M là một điểm nằm trên BC sao cho BM = 3 MC, AH vuông góc với BC. Nối A với M ta được hai tam giác là ABM và AMC có chung đường cao là AH. Vậy từ đó ta suy ra SABM = 3 SAMC
A
B
C
M
H
Bài 6: dạng toán xếp hình
Một số điều cần lưu ý:
Xếp hình theo yêu cầu cho trước là một dạng toán thường gặp. Để làm
tốt dạng toán này cần nhớ kĩ số điểm (đoạn thẳng, hình) đã cho và hình
cần xếp
Chú ý rằng nếu đoạn thẳng cho trước có số đo là những số tự nhiên thì
khi dùng các đoạn thẳng này xếp thành hình chữ nhật, hình vuông (không
làm thay đổi hình dạng các đoạn thẳng) ta có chu vi hình đó, vì thế tổng
số độ dài của các đoạn thẳng cần xếp phảI là số chia hết cho 2 (đối với
hình chữ nhật), chia hết cho 4 (đối với hình vuông).
Bài tập
Hình bên được xếp bởi 24 que diêm. Hãy bỏ bớt đi 4 que để được 5 hình vuông
* Tìm lời giải
Sau khi bỏ đi 4 que thì còn
lại: 24 - 4 = 20 que
Xếp 1 hình vuông riêng rẽ
thì cần 4 que. Vậy 20 que
có thể xếp được 5 hình
vuông riêng rẽ. Ta có thể
bỏ đi 4 que ở giữa của hàng
đầu tiên và hàng cuối cùng
từ trên xuống và từ trái
sang.
Bài 7: dạng toán cắt ghép hình
Một số điều cần lưu ý:
1. Cắt hình cho trước thành nhiều hình nhỏ cần chú ý:
- Đường cắt phải là đường thẳng hoặc đường gấp khúc.
- Tổng diện tích các mảnh Cắt ra đúng bằng diện tích của hình ban đầu.
* Các dạng thường gặp:
- Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
- Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tuỳ ý.
2. Cắt hình cho trước thành nhiều hình nhỏ rồi ghép lại thành hình khác theo yêu cầu của đầu bài là sự biến đổi từ hình này sang hình khác nhưng diện tích không thay đổi.
Để giải tốt dạng toán này cần phảI linh hoạt quan sát thật kĩ hình dạng, kích thước của hình cho trước, hình cần ghép, số mảnh cần cắt. Từ đó đề xất các trường hợp có thể được, tiến hành thử chọn để tìm lời giải.
Bài tập
Hãy căt một hình vuông thành những mảnh nhỏ để khi ghép lại ta được hai hình vuông.
* Tìm lời giải:
Hình vuông là hình có 4 cạnh bằng nhau. Từ đó nếu ta gọi ABCD là hình vuông đã cho và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD; O là điểm nằm giữa 2 đường chéo. Ta có thể cắt hình vuông theo các cạnh OA-OB, OC-OD rồi ghép 4 tam giác lai thành 2 hình vuông.
A
M
B
N
C
D
Q
O
P