Phuong phap ham so giai phuong trinh

Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
I.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT:
 
Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D  thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f đồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*xVậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
 
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
 
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu xVậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 
Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt  có m nghiệm, khi đó pt   có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.
 
Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục  trên D thì

.
 
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 
.
 
.

.

.
Giải:
1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK:

Xét hàm số  
, ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
 
Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm
( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.
*