Phuơng pháp giải toán 6 theo chuyên đề

Phương pháp: Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Đặt ƯCLN của chúng là d => mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh d = 1. Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau Giải: Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 (n
N). Ta đặt (2n + 1, 2n + 3) = d. Suy ra 2n + 1
d; 2n + 3
d. Vậy (2n + 3) – ( 2n + 1)
d hay 2
d, suy ra d
{ 1 ; 2 }. Nhưng d
2 vì d là ước của các số lẻ. Vậy d = 1, điều đó chứng tỏ 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Phương pháp 2: Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tìm cách suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước. Ví dụ: Cho (a, b) = 1. Chứng minh rằng ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng nhau . Do đó a + b và ab ắt phải có ít nhất một ước số chung nguyên tố d: a + b
d (1) ab
d (2) Vì d là số nguyên tố nên từ (2), ta có: a
d
b
d Nếu a
d . Từ (1)
b
d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. Nếu b
d . Từ (1)
a
d Như vậy a và b có một ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết. Vậy, (a,b) = 1 thì ab và a + b nguyên tố cùng nhau. Bài tập Bài 1: chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Giải: Gọi hai số nhiên liên tiếp là n và n + 1(n
N ) . Đặt (n, n + 1) = d
n
d; n + 1
d. Do đó (n + 1) – n
d hay 1
d suy ra d = 1. vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2: Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên . chứng minh rằng các số a và ab + 4 nguyên tố cùng nhau. Giải: Giả sử a và ab + 4 cùng chia hết cho một số tự nhiên d( d
0 ). Như vậy thì ab chia hết cho d, do đó hiệu (ab + 4) – ab = 4cũng chia hết cho d. Suy ra d có thể bằng 1, 2 hay 4. Nhưng a không chia hết cho 2 và 4 vì a lẻ. Vậy d chỉ bằng 1 nên các số a và ab+ 4 nguyên tố cùng nhau. Bài 3:Cho a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh an + bn và ab nguyên tố cùng nhau Giải: Giả sử an + bn và ab không nguyên tố cùng nhau. Ta suy ra an + bn và ab ắt phải có một số chung nguyên tố d : an + bn
d (1) ab
d (2) Vì ab
d, d nguyên tố nên ta có: a
d
b
d Nếu a
d
an
d Ta lại có an + bn
d suy ra bn
d Vì bn
d, d nguyên tố, nên b
d Như vậy a và b sẽ có một ước số chu ng nguyên tố d, mâu thuẫn giả thiết. Nếu b
d: Tương tự Vậy: an +bb = 1 và an + bn và ab nguyên tố cùng nhau. Bài tập tương tự Cho a,b,c nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng : ab + bc + ca , a + b + c, abc nguyên tố cùng nhau Cho (a,b) = 1. Chứng minh 5a +3b và 13a + 8b nguyên tố cùng nhau. Cho a,b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng an và b nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng với mọi n khác 0 thì số 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau. Tr ương Phươc Hai